Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Tiếp tuyến của đường tròn

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Tiếp tuyến của đường tròn

1. 1 UBND THỊ XÃ TỪ SƠN TRƯỜNG THCS ĐÔNG NGÀN CHUYÊN ĐỀ: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn. 2. Tính chất: - Đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm H a OH tại H - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau AB AC ¶ ¶ AB và AC là hai tiếp tuyến của (O), B và C là hai tiếp điểm A1 A2 ¶ ¶ O1 O2 3. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng a là tiếp tuyến của (O;R) - Dấu hiệu 1: Chứng minh a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung
2. 2 a  OH taïiH - Dấu hiệu 2: Chứng minh OH R a  OH taïiH - Dấu hiệu 3: Chứng minh H (O;R) II. BÀI TẬP VÂN DỤNG: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng: A. BA là tiếp tuyến của (A; AB) B. BA là tiếp tuyến của (A; AC) C. BA là tiếp tuyến của (C; BC) D. BA là tiếp tuyến của (C; AC) Câu 2. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH (H BC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng: A. AC là tiếp tuyến của (C; BC ) B. AB là tiếp tuyến của (A; AC) C. BC là tiếp tuyến của (A; AH) D. BC là tiếp tuyến của (C; AC) Câu 3. Cho tam giác DEF có : DE = 3cm, DF = 4cm, EF = 5cm. Khẳng định nào đây là khẳng định đúng: A. ED là tiếp tuyến của (F; 3cm ) B. FD là tiếp tuyến của (E; 4 cm) C. ED là tiếp tuyến của (D; 4cm) D. FD là tiếp tuyến của (E; 3cm) Câu 4. Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O). các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Độ lớn góc BMC là: A. 1200 B. 900 C. 600 D. 450 Câu 5. Cho (O, R) đường kính AB. Điểm M thuộc tia đối tia AB sao cho MA = R. Kẻ tiếp tuyến MC tới đường tròn. Độ dài đoạn thẳng MC bằng A. R B. R 2 C. R 3 D. 2R Câu 6. Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn. Biết góc BAC bằng 600. Số đo cung nhỏ BC bằng:
3. 3 A. 1200 B. 900 C. 600 D. 450 Câu 7. Cho đường tròn (; 2cm). Đường thẳng (d) tiếp xuc với đường tròn. Khoảng cách từ O tới đường thẳng (d) là: A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm Câu 8. Đường tròn (O) đường kính AB, điểm C thuộc đường tròn. Tiếp tuyến của đường tròn tại B cắt AC tại M. Kết quả đúng là: A. MB2 = MC.CA B. CB2 = MC.MA C. CB2 = MC.CA D. AB2 = BC.AM Câu 9. Hai tiếp tuyến của (O:R) cắt nhau tại M. Biết OM = 2R. Góc tạo bởi hai tiếp tuyến là: A. 1200 B. 900 C. 600 D. 450 Câu 10. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB tới đường tròn. MA= R. Số đo độ cung nhỏ AB bằng: A. 1200 B. 900 C. 800 D. 600 BÀI TẬP TỰ LUẬN: Các dạng bài tập: 1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn 2. Dạng 2: Chứng minh các hệ thức hình học, các bài tập tính toán 3. Dạng 3: Cực trị hình học, quỹ tích điểm chuyển động BÀI TẬP MINH HỌA Bài toán 1: Cho đường (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại điểm C. a. Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O) b. Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB=24cm. Tính độ dài OC Bài giải:
4. 4 a. Ta có: OA=OB=R AOB cân tại O Mà OC AB, nên OC cũng là đường phân Giác của A· OB A· OC B· OC Xét CAO và CBO có: - Chúng OC - OA = OB CAO = CBO (c.g.c) C· BO C· AO (1) - A· OC B· OC Mà CA là tiếp tuyến của (O) tại A OACA C· AO 90O (2) · O Từ (1) và (2) CBO 90 CB  OB tại B, mà B (O) Vậy CB là tiếp tuyến của (O) b. Gọi H là giao điểm của OC và AB. 1 1 Xét (O) có OH AB tại H HA HB AB .24 12cm (định lí quan hệ 2 2 đường kính - dây) Vì AHO vuông tại H, nên theo định lí Py-ta-go ta có : OA2 HA2 OH2 152 122 OH2 OH2 225 144 81 OH 9cm Vì AOC vuông tại A, có AHOC OA2 = OC.OH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) 152 = OC.9 OC=25cm Sai lầm thường gặp: Câu a: Chứng minh CBOB tại B CB là tiếp tuyến của (O) mà không chỉ ra B (O) Bài toán 2: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với (O). Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D dao cho góc C· OD 90O , tia CO cắt tia đối của tia By tại E. a. Chứng minh CDE là tam giác cân
5. 5 b. Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O) Bài giải: a. Vì Ax, By là hai tiếp tuyến của nửa (O) nên AxAB; ByAB O· AC O· BE 90O Xét OAC và OBE có O· AC O· BE 90O OA OB R A· OC B· OE (Haigoùcñoáiñænh) OAC = OBE (c.g.c) OC = OE (hai cạnh tương ứng). Xét CDE có DO vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Nên CDE cân tại E b. Kẻ OH CD (H CD) Vì DEC cân tại D nên đườn cao DO cũng là đường phân giác của góc CDE Lại có OHCD, OBDE OH = OB Ta có : CDOH tại H, mà OH=OB=R Vậy CD là tiếp tuyến của (O) Sai lầm thường gặp: Câu a. Không chứng minh từ giả thiết Ax, By là hai tiếp tuyến của nửa (O) có AxAB; ByAB từ đó có O· AC O· BE 90O mà có luôn O· AC O· BE 90O Câu b. Chứng minh DB = DH từ đó có DC là tiếp tuyến của ( O) Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường trong (I) đường kính BH cắt AB tại D, đường tròn (K) đường kính CH cắt AC tại E a. Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao ? b. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung của (I) và (K)
6. 6 Bài giải: a. Xét BDH có ID=IB=IH=1/2BH BDH vuông tại D B· DH 90O A· DH 90O Tương tự ta cũng có A· EH 90O Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật b. Gọi O là giao điểm của AH và DE, suy ra : OD=OE=OA=OH ODH cân tại O O· DH O· HD Ta có : ID = IH IDH cân tại I I·DH I·HD Ta có : O· DH I·DH O· HD I·HD A· HB 90O I·DO 90O ID  DE tại D, mà D (I) DE là tiếp tuyến của (I) (1) Chứng minh tương tự, ta có : K· EO K· EH O· EH K· HE O· HE A· HC 90O kE  DE tại E, mà E (K) DE là tiếp tuyến của (K) (2) Từ (1) và (2) suy ra : DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K) Bài toán 4: Cho hình vuông ABOC có cạnh bằng a. Vẽ đường tròn (O ;OB). Từ điểm M trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tiếp với (O), cắt AB, AC lần lượt ở K và Q. a. Tính chu vi tam giác AKQ theo a. b. Tính góc KOQ
7. 7 Bài giải: a. Vì ABOC là hình vuông nên Aµ Bµ Oµ Cµ 90O ; AB=BO=OC=CA Xét (O;OB) có: ABOB; ACOC mà OB, OC Là bán kính của (O) AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) tại B và C. Ta có : KB, KM là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) ; B, M là hai tiếp điểm. BK = KM Ta có : QM, QC là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) ; M,CM là hai tiếp điểm. QM = QC Chu vi tam giác AKQ bằng : AK+KQ+AQ=AK+KM+MQ+AQ = AK+KB+QC+AQ=AB+AC=2AB=2.a Vậy chu vi tam giác AKQ = 2.a b. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn ta có : 1 1 K· OM B· OM; Q· OM C· OM 2 2 1 1 1 1 Do đó : K· OQ K· OM Q· OM B· OM C· OM B· OC .90O 45O 2 2 2 2 Vậy : K· OQ 45O Bài toán 5:
8. 8 Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB=2R ; Ax và By là hai tia tiếp tuyến của nửa đường tròn. Từ điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (O) kể tiếp tuyến với nửa (O) , cắt Ax, BY lận lượt tại C, E. a. Chứng minh rằng : CE = AC+BE b. Chứng minh tích AC.BE không đổi khi M thay đổi trên nửa (O) c. Tìm vị trí của điểm M trên nửa (O) để chu vi tứ giác ABEC có giá trị nhỏ nhất d. Chứng minh rằng tâm K của đường tròn ngoại tiếp OCE chạy trên một tia cố định Bài giải: a. Vì CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của nửa (O), A, M là tiếp điểm nên:AC =CM Vì EB,E là hai tiếp tuyến cắt nhau của nửa (O), B, M là tiếp điểm nên:BE =EM Ta có CE = CM + EM = AC + BE Vậy CE = AC + BE b. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : OC và OE lần lượt là phân giác của A· OM vaø B· OM Mà A· OM vaø B· OM là hai góc kề bù nên OC  OE C· OE 90O OCE vuông tại O, có OM là đường cao CM.EM = OM2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
9. 9 Mà CM=CA ; EM=BE AC.BE=CM.EM=OM2 = R2 không đổi Vậy AC.BE là không đổi khi M thay đổi trên nửa (O) c. Chu vi tứ giác ABEC bằng: AB+AC+BE+CE=AB+2(AC+BE)=2R+2(AC+BE) Ta có: AC BE 2 AC.BE 2 R2 2R Dấu “=” có AC = BE ABEC là hình chữ nhật OM AB M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) Vậy khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) thì chu vi tứ giác ABEC đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 2R+2.2R=6R d. Vì K là tâm của đường tròn ngoại tiếp OCE, mà OCE là tam giác vuông tại O, nên K là trung điểm của CE Ta có: OK là đường trung bình của hình thang ABEC nên OK//Ax//By OK AB Gọi Q là giao điểm của OK với nửa (O) Q là điểm chính giữa của nửa (O) và Q cố định. Vậy điểm K chạy trên tia Qz là đường trung trực của AB (Với Q là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O)). BÀI TẬP TRÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10 TỈNH BẮC NINH Bài 1. (Đề thi Bắc Ninh năm 2012 - 2013) Cho đường tròn tâm O. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AM và AN với (O) ( M, N là các tiếp điểm) 1/ Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính AO. 2/ Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh I thuộc đường tròn đường kính AO. 3/ Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh rằng AK.AI = AB.AC
10. 10 Bài 2. (Đề thi Bắc Ninh năm 2014 - 2015) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AC = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M cắt Ax, By lần lượt tại D và E. 1/ Chứng minh DOE vuông 2/ Chứng minh rằng AD . BE = R2 3/ Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để diện tích DOE đạt GTNN. Bài 3. (Đề thi Bắc Ninh năm 2007 - 2008) Cho đường tròn (O). Từ một điểm S nằm bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến SCD ( C nằm giữa S và D) với đường tròn (O). Phân giác CAD cắt CD ở I và cắt (O) tại M, OM cắt CD ở K. Chứng minh: 1/ SA2 = SC.SD 2/ Tứ giác SAOK nội tiếp 3/ Tam giác SBI cân 4/ AC.BD = AD.BC Bài 4. (Đề thi Bắc Ninh năm 2007 - 2008) Cho đường tròn (O) bán kính 2cm và đường tròn (O’) bán kính 8cm tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn cắt OO’ tại E và tiếp xúc với đường tròn (O) tại B, tiếp xúc với đường trong (O’) tại C. 1/ Tứ giác OBCO’ là hình gì? Vì sao? 2/ Xác định hình dạng tam giác ABC 3/ Tính độ dài EB. === HẾT ===