Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Phương trình bậc hai và ứng dụng hệ thức Vi-ét

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Phương trình bậc hai và ứng dụng hệ thức Vi-ét

1. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TỪ SƠN TRƯỜNG THCS ĐÌNH BẢNG  CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page1
2. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et PHẦN I : KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) : = b2 - 4ac b b * Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 2a 2a -b * Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x = x = 1 2 2a * Nếu 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = a -b' * Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x = x = 1 2 a * Nếu ' 0 5. Hai nghiệm cùng dấu 0 vµ P > 0 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page2
3. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et 6. Hai nghiệm trái dấu > 0 vµ P 0 vµ P > 0 8. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) 0; S 0 9. Hai nghiệm đối nhau 0 vµ S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 vµ P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c 0 (trong đó S = x + x = , P =x .x = ) 1 2 1 2 PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai A. x3 +3x2 -6 =0 B. (1 2 ) x2- 5x+ 1=0 C. 0x2 +2x -4 =0 D. x – 3 =0 Câu 2: Phương trình (m+1)x2 -2mx +1 = 0 là phương trình bậc hai khi: A. m= 1 B.m= 0 C. m ≠-1 D. Mọi giá trị của m Câu 3: Phương trình x2- 3x +7 = 0 có biệt thức ∆ bằng A. 2 B. -19 C. -37 D. 16 Câu 4 : Phương trình mx2- 4x -5 = 0 ( m ≠ 0) có nghiệm khi và chỉ khi 5 5 4 4 A. m ≤ B. m ≤ C. m ≥ D. m ≥ 4 ― 4 ― 5 5 Câu 5 :Phương trình nào sau đây có 2 nghiệm phân biệt ? A.x2 +4x +4 = 0 B. x2 - 4x – 4 =0 C. x2 - 4x + 4 =0 D. Cả ba câu trên đều sai Câu 6.Số nghiệm của phương trình x4 -5x +4=0 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 7: Cho phương trình bậc hai x2 - 2( m -1)x - 4m = 0. Phương trình có nghiệm khi: Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page3
4. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et A. m ≥ -1 B. Với mọi giá trị của m C. m > - 1 D. m ≤ -1 Câu 8: Tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là: A. (1;1) và (-2;4) B. (1;1) và (2; 4) C. (-1;1) và (2;4) D. (-1;1) và (-2; 4) Câu 9: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + m. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt là: A. B. C. D. Câu 10: Điều kiện để phương trình x4 4x2 m 0 có bốn nghiệm phân biệt là: A. m 0 B. m 1 C.0 0 Chọn đáp án :B Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page4
5. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et Câu 10 : để phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt. Chọn đáp án : C Dạng 2: Giải phương trình bậc hai 2.1 : Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c Phương pháp : 2 2 +/ Dạng khuyết b: Đối với phương trình ax +c=0 (a 0) ta biến đổi ↔ x = . Nếu a và c cùng dấu thì phương trình vô nghiệm Nếu a và c khác dấu thì phương trình có nghiệm x = ± +/ Dạng khuyết c : Đối với phương trình ax2 + bx =0 ta có thể biến đổi về phương trình tích ax2 + bx =0 ↔ x(ax +b) =0 để giải. Lúc này phương trình có hai nghiệm là x=0 và x= Bài 1: Giải các phương trình sau : a) 2x2 – 8 =0 b) 4x2 +20 =0 c) x 2 -5x =0 d) 7x2 + 3x =0 Giải : a) 2x2 – 8 =0 x2= 4 x= ± 2 Vậy phương trình có tập nghiệm là S={2; ― 2} b) 4x2 +20 =0 x2 =-5. Phương trình vô nghiệm vì VT ≥ 0, VP < 0 2 = 0 = 0 c) x -5x =0 x (x-5)= 0 ― 5 = 0 ⌊ = 5 Vậy phương trình có tập nghiệm là S={0; 5} = 0 2 = 0 = 0 d) 7x +3x =0 x (7x +3)= 0 7 + 3 = 0 ⌊7 = ―3 ⌊ = 3 7 Vậy phương trình có tập nghiệm là S= 0; 3 7 2.2 : Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát: ax2+ bx +c = 0 (a 0) Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích rồi giải phương trình đó ( lớp 8) Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page5
6. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm ( công thức nghiệm thu gọn) để giải phương trình bậc hai Phương pháp 3: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm Chú ý : với những phương trình bậc cao có thể dùng đặt ẩn phụ hoặc quy đồng khử mẫu để đưa về dạng phương trình bậc hai Bài 2: Giải phương trình sau : a) x2 + 6x +8 =0 ( đề thi vào lớp 10- Bắc Ninh – 2020/2021) b) 5x2 - 6x +1=0 c) x4 - 6x2 +5 =0 d) x3 +3x2 +2x =0 2 2 8 e) 1 = ( 1)( 4) f) 3(x2+x) -2(x2 +x) -1 =0 Giải : a) Cách 1: đưa về phương trình tích x2 + 6x +8 =0 x2 +4x+2x +8=0 x(x+4) + 2(x+4)=0 = ―4 (x+4)(x+2) =0 ⌊ = ―2 Vậy phương trình có tập nghiệm là S={ ―4; ― 2} Cách 2 : Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình 6 Ta có a= 1, b=6 b’= , c=8 → 2 = 2 = 3 Nên ∆’= 32- 1.8 =9- 8= 1>0. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 3 1 =- 3+1 =-2 x = 3 1 = -3-1 =-4 1= 1 2 1 Vậy phương trình có tập nghiệm là S={ ―4; ― 2} b) Cách 1: Đưa về phương trình tích 5x2 - 6x +1=0 5x2 -5x-x+1=0 5x(x-1) –(x-1) =0 5 ― 1 = 0 5 = 1 = 1 (5x-1)(x-1) =0 5 ― 1 = 0 ⌊ = 1 ⌊ = 1 Vậy phương trình có tập nghiệm là S= 1; 1 5 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page6
7. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn ( công thức nghiệm tổng quát) để giải Cách 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm Ta có a= 5, b= -6 , c=1 và a+b+c = 5+(-6) +1 =0 1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là x =1 và x = 1 2 = 5 c) Đặt x2 =t (t ≥ 0) khi đó phương trình có dạng t2 - 6t +5=0 Có a+b+c = 1+(-6) +5 =0 nên phương trình ẩn t có hai nghiệm t1=1 (t/m) và t2 =5 (t/m) Với t1= 1 thì x = ± 1, với t2 = 5 thì x = ± 5 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt d) Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích = 0 = 0 x3 +3x2 +2x =0↔ x( x2+ 3x +2) =0↔x(x+1)(x+2) =0↔ + 1 = 0↔ = ―1 + 2 = 0 = ―2 phương trình có ba nghiệm phân biệt e) Đk: x≠ -1 và x ≠4 Quy đồng và khử mẫu ta được 2x(x-4) = x2-x+8 ↔ x2-7x -8=0 Do a- b+c = 1-(-7)+8 =0 nên ta có x1= -1 ( không t/m) và x2 =8 (t/m) . Vậy phương trình có 1 nghiệm là x=8 f) Đặt x2 +x =t . khi đó phương trình có dạng 3t2 -2t -1=0 1 Do a+b+c = 3+(-2) +(-1) =0 nên t = 1 và t = 1 2 3 Với t = 1 ta có phương trình x2 + x -1=0. Có hai nghiệm là x = 1 5 và x = 1 5 1 1 2 2 2 1 Với t ta có phương trình 3x2+3x +1 =0. Phương trình vô nghiệm do 2 = 3 ∆ = ―3 < 0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 5 và x = 1 5 1 2 2 2 Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt Phương pháp: +) tìm biệt thức ∆ Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page7
8. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et +) Theo yêu cầu của bài để tìm điều kiện của ∆ Bài 3: Cho phương trình bậc hai x2 -2(m+1)x +2m +5=0 5 a) Giải phương trình với m= 2 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm ( Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2001-2002) 5 5 5 Giải: a) Khi m = thì phương trình có dạng x2- 2( +1) x +2. +5= 0 2 2 2 x2 – 7x +10 =0 Có ∆= (-7)2- 4.1.10= 49- 40 =9 >0 ( ∆ =3)> Phương trình có hai nghiệm phân biệt là 7 3 7 3 x = =2 ; x = =5 1 2 2 2 b)Vì a=1 ≠0 nên phương trình đã cho có nghiệm ∆’ ≥ 0 (m+1)2 – (2m+5) ≥ 0 m2+ 2m +1 -2m -5 ≥ 0 m2 – 4 ≥ 0 2 ≥ 2 m ≥ 4 ⌊ ≤ ―2 Bài 4 : Cho phương trình x2- (m+1)x +m2- 2m +2=0 a) Giải phương trình với m=2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm, vô nghiệm, hai nghiệm phân biệt ( Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2004-2005) Giải: a) Với m=2 thì phương trình có dạng x2- (2+1)x +22 -2.2 +2 =0 x2 -3x +2 =0 Vì a+b+c = 1-3 +2=0 nên phương trình có 2 nghiệm là x1 =1 và x2= = 2 b)Vì a=1≠0 , ∆ = (m+1)2- 4 .1.(m2- 2m+2) = m2 +2m+1 – 4m2 + 8m -8 = -3m2+ 10m -7 = (m-1) (7- 3m) Để phương trình có nghiệm kép ∆ = 0 (m-1) (7- 3m) =0 ― 1 = 0 = 1 = 1 ⌊7 ― 3 = 0 ⌊3 = 7 ⌊ = 7 3 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page8
9. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et 7 3 7 Để phương trình hai nghiệm phân biệt (m-1) (7- 3m) > 0 1 0 3 Dạng 4: Tìm giá trị của m để phương trình bậc hai có nghiệm chung hoặc chứng minh một trong các phương trình có nghiệm Phương pháp giải a) Hai phương trình bậc hai có nghiệm chung -) Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x= x0 vào hai phương trình ta được hệ với ẩn là các tham số -) Giải hệ tìm tham số -) Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không b) Để chứng minh có ít nhất 1 phương trình bậc hai trong các phương trình đã cho có nghiệm ta chứng minh tổng các ∆ ≥0 Bài 5:Cho hai phương trình : x2- 3x +2m +6=0 (1)và x2 +x -2m-10 =0 (2) a)Giải hai phương trình trên với m=-3 b) Tìm các giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2002-2003) 2 = 0 a) Với m= -3 thì phương trình (1) ↔ x - 3x =0 ↔ x(x-3)=0 ↔ ⌊ = 3 1 17 1 17 Với m= -3 thì phương trình (2) ↔ x2 +x-4 = 0 ↔ x = ; x = 1 2 1 2 2 0 ― 3 0 + 2 + 6 = 0 b)Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có 2 0 + 0 ― 2 ― 10 = 0 ―4 0 + 4 + 16 = 0 ― 0 + + 4 = 0 (1′) ↔ 2 ↔ 2 2 0 ― 2 0 ― 4 = 0 0 ― 0 ― 2 = 0 (2′) Phương trình (2’) có a-b+c= 1-(-1)+2 =0 nên x01 = -1 và x02= 2 Thay x01 vào (1’) có 1 +m +4 =0 ↔ m=-5 x02 = 2 vào (1’) có -2 +m +4 =0 ↔m= -2 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page9
10. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et Vậy với m=-5 thì hai phương trình có nghiệm chung là x=-1 với m=-2 thì hai phương trình có nghiệm chung là x=2 c)Gọi denta của hai phương trình lần lượt là ∆1 và ∆2 Ta có ∆1 =9 -4 .1(2m +6) = 9- 8m -24 = -8m -15 ∆2 = 1-4(-2m -10) = 1+ 8m +40 = 41 +8m ∆1 > 0 Nên ∆1 + ∆2 =-8m -15 +41+8m =26 >0 → ⌊∆2 > 0 Vậy với mọi giá trị của m thì một trong hai phương trình có nghiệm CHỦ ĐỀ 2: HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm Câu 1: Phương trình x2 2015x 2016 0 có hai nghiệm là: A. 1 và -2016 B. -1 và 2016 C. -1 và – 2016 D. 1 và 2016 2 2 2 Câu 2 .Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình x + x – 1 = 0. Khi đó biểu thức x1 + x2 có giá trị là: A. 1. B. 3. C. -1. D. -3. 2 3 3 Câu 3:Phương trình 2x 4x 1 0 có hai nghiệm x1 và x2 . Khi đó A x1.x2 x1 x2 nhận giá trị là: A.1 1 5 3 B. C. D. 2 2 2 Câu 4: Giá trị của m để phương trình x2 + 2x + m-1= 0 (m là tham số) có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau : A. m 2 C. m = 2 D. m 2 2 Câu 5. Tìm tham số m để phương trình x x m 1 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 2 x1 x2 5. A. m 3 B. m 1 C. m 2 D. m 0 Câu 6.Tổng hai nghiệm của phương trình x2 – 2x – 7 = 0 là: A. 2. B. – 2. C. 7. D. – 7. Câu 7.Phương trình 2x2 + mx – 5 = 0 có tích hai nghiệm là Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page10
11. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et 5 m m 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 8.Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm bằng 1 thì: A. a + b + c = 0. B. a – b + c = 0. C. a + b – c = 0. D. a – b – c = 0. Câu 9.Cho hai số u và v thỏa mãn điều kiện u + v = 5; u.v = 6. Khi đó u, v là hai nghiệm của phương trình A. x2 + 5x + 6 = 0. B. x2 – 5x + 6 = 0. C. x2 + 6x + 5 = 0. D. x2 – 6x + 5 = 0. Câu 10.Cho phương trình x2 – (a + 1)x + a = 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm là: A. x1 = 1; x2 = - a. B. x1 = -1; x2 = - a. C. x1 = -1; x2 = a. D. x1 = 1; x2 = a. Hướng dẫn Câu 1: có a-b+c=0. Chọn đáp án :B 2 2 2 Câu 2: x1 + x2 = (x1+ x2) -2x1.x2 = 1-2(-1)=3. Chọn đáp án :B Câu 3: Phân tích biểu thức A rồi thay viet . Chọn đáp án : C Câu 4: Hai nghiệm là hai số nghịch đảo khi tích 2 nghiệm bằng 1.Chon đáp án :C Câu 5:sử dụng hệ thức Viet và phân tích biểu thức đã cho về dạng tổng và tích. Chọn đáp án A 2 Câu 6: Tổng hai nghiệm x + x = . Chọn đáp án :A 1 2 = ― 1 = 2 5 Câu 7:Tích hai nghiệm x .x = . Chọn đáp án : D 1 2 = 2 Câu 8: Nếu phương trình có 1 nghiệm x1 =1 thì a+b+c =0. Chọn đáp án :A Câu 9: Nếu u + v = 5; u.v = 6 thì u,v là nghiệm của phương trình x2- Sx +P=0 →x2 – 5x + 6 = 0. Chọn đáp án :B Câu 10: Do a+b+c = 1 + (-a-1)+ a= 1-a-1+a=0 nên có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = a. Chọn đáp án : D Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page11
12. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x=x1 cho trước. Tìm nghiệm thứ hai Phương pháp : a)Tìm điều kiện để phương trình có một nghiệm x=x1 cho trước có hai cách Cách 1:+) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm :∆ ≥ 0 ( hoặc ∆′ ≥ 0) (*) +) Thay x=x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số +) Đối chiếu giá trị vừa tìm được với điều kiện (*) để kết luận Cách 2: +) Không cần lập điều kiện :∆ ≥ 0 ( hoặc ∆′ ≥ 0) mà ta thay luôn x=x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số +)Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có ∆ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước. b)Để tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình( như cách 2 trình bày ở trên) Cách 2: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng hai nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ hai Cách 3: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được nghiệm thứ 2 Bài 6: a) Phương trình x2 2 px 5 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứhai. b) Phương trình x2 5x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. c) Cho phương trình : x2 7x q 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx 50 0 , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 9 Bài giải: a) Thay x 2 và phương trình ban đầu ta được : 4-4p + 5 =0 p= 1 4 5 5 T ừ x1x2 5 suy ra x2 x1 2 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page12
13. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et b) Thay x1 5 v à phương trình ban đầu ta được: 25 25 q 0 q 50 50 50 T ừ x1x2 50 suy ra x2 10 x1 5 c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11 và theo Vi-et ta có x1 x2 11 x1 9 x1 x2 7 , ta giải hệ sau: x1 x2 7 x2 2 Suy ra q x1x2 18 d) Vì vai trò củax1 vàx2 bìnhđẳng nên theo đề bài giả sử x1 2x2 và theo Vi-et ta có x1x2 50 . 2 2 2 x2 5 Suy ra 2x2 50 x2 5 x2 5 Với x2 5 thì x1 10 ; với x2 5 thì x1 10 Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng Phương pháp: Áp dụng định lý Vi- et đảo + 푣 = 푆 Nếu hai số u và v có .푣 = 푃 thì u và v là hai nghiệm của phương trình : x2 Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 ) Bài 7:a)Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 b)Tìm hai số khi biết tổng hai số bằng 4 và tích hai số là -5 ( Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2003-2004) Giải:a)Vì a + b = 3 và ab = 4 nên a, b là nghiệm của phương trình : x2 3x 4 0 giải phương trình trên ta được x1 1 và x2 4 Vậy nếu a = 1 thì b = 4 hoặc nếu a = 4 thì b = 1 b) Gọi hai cần tìm là a và b. Theo bài ta có a+b =4 và a.b =-5 nên a,b là nghiệm của phương trình : x2 -4x -5=0 ta có a –b+c = 1 –(-4) -5 =0 nên có hai nghiệm là x1= -1 và x2= 5 Vậy nếu a= -1 thì b= 5 hoặc a=5 thì b=-1 Dạng 4: Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page13
14. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et Cho phương trình:ax2 bx c 0 (a 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm . Phương pháp : Dùng định lý Viet và các điều kiện ở phần 4 trong kiến thức cần nhớ để làm theo yêu cầu của bài Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện nào đó thì cần điều kiện ∆ > 0 Bài 8: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2x2 3m 1 x m2 m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu. Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì (3m 1)2 4.2.(m2 m 6) 0 0 (m 7)2 0m m2 m 6 2 m 3 P 0 P 0 P (m 3)(m 2) 0 2 Vậy với 2 m 3 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Bµi 9: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0 a) Chøng tá r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng ©m 2 1 15 Giải a) Ta cã: ’ = (m-1)2 - (- 3- m ) = m 2 4 2 1 15 Do m 0 víi mäi m; 0 > 0 víi mäi m 2 4 Ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt hay ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm (®pcm) b) Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu a.c -3 VËy m > -3 c) Theo ý a) ta cã ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P = x1.x2 = - (m+3) Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page14
15. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m S 0 2(m 1) 0 m 1 m 3 (m 3) 0 m 3 VËy m < -3 Bµi 10: Cho ph­¬ng tr×nh (m - 1)x2 -2mx+m + 1 = 0 (1). T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn. HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 x 1 m 1 2 * m 1 : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x 1 ; x 1 1 2 m 1 m 1 m 1 1; 2 m 1;0;2;3 Dạng 5: Lập phương trình bậc hai Phương pháp : - Lập tổng S= x1+ x2 -Lập tích P= x1.x2 - Phương trình cần tìm là X2 – SX +P =0 5.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2 Phương pháp : - Lập tổng S= x1+ x2 -Lập tích P= x1.x2 - Phương trình cần tìm là X2 – SX +P =0 Bài 11:a)Cho x1 3; x2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên b) Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm là ( 2+ 3 ) và ( 2- 3 ) S x1 x2 5 Giải: a)Theo hệ thức Viet ta có P x1x2 6 2 2 vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: x Sx P 0 x 5x 6 0 푆 = + = 2 + 3 + 2 ― 3 = 4 b)Theo hệ thức Viet ta có 1 2 푃 = 1. 2 = (2 + 3).(2 ― 3) = 1 2 vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: x – 4x +1 = 0 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page15
16. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et 5.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: 2 Bài 12: Cho phương trình : x 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương 1 1 trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 x2 và y2 x1 x1 x2 Giải: Theo hệ thức Viet ta có: 1 1 1 1 x1 x2 3 9 S y1 y2 x2 x1 (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 x1x2 2 2 1 1 1 1 9 P y1 y2 (x2 )(x1 ) x1x2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1x2 2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0 9 9 hay y2 y 0 2y2 9y 9 0 2 2 Dạng 6: Biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai 6.1:Tính giá trị của các biểu thức chứa nghiệm Phương pháp :Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức Viét rổi tính giá trị của biểu thức 2 Bài 13: Cho phương trình x 8x 15 0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính 2 2 1 1 x1 x2 a) x1 x2 b) c) x1 x2 x2 x1 b c Giải:Ta có x x 8; x x 15 1 2 a 1 2 a 2 2 2 2 a) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1 x2 8 2.15 64 30 34 1 1 x x 8 b) 1 2 x1 x2 x1 x2 15 x x x 2 x 2 34 c) 1 2 1 2 x2 x1 x1x2 15 Bài 14:Cho ph­¬ng tr×nh: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m lµ tham sè) Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page16
17. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et a/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = 3. 1 1 3 b/T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tháa m·n x1 x2 2 (TrÝch ®Ò thi vµo líp 10 THPT N¨m häc 2009 - 2010 -B¾c Ninh) Giải:a)Víi m = 3 ta cã PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0 4x2 - 4x + 1 = 0 (2x 1)2 0 (HoÆc tÝnh ®­îc hay ' ) Suy ra PT cã nghiÖm kÐp x = 1/2 m 1 0 b)§Ó PT cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× 2 ' m 2m 1 (m 1)(m 2) 0 m 1 0 m 1 m 3 2 2 (*) ' m 2m 1 m m 2 0 m 3 0 m 1 2(m 1) m 2 Mµ theo định lý Vi-Ðt ta cã: x x ;x x 1 2 m 1 1 2 m 1 1 1 3 x x 3 Tõ ta cã: 1 2 x1 x 2 2 x1x 2 2 2(m 1) m 2 3 2(m 1) m 1 3 : . m 1 m 1 2 m 1 m 2 2 2(m 1) 3 4m 4 3m 6 m 2 tho¶ m·n (*) m 2 2 VËy m ph¶i t×m lµ -2. Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm 6.2: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai sao cho hai nghiệm không phụ thuộc với tham số Phương pháp :Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Áp dụng hệ thức Viét viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page17
18. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et 2 Bài 15: a)Cho phương trình : m 1 x 2mx m 4 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Lập hệ thức liên hệgiữa x1; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Giải : Để phương trình trên có 2 nghiệmx1 vàx2 thì : ≠ 1 ― 1 ≠ 0 ≠ 1 ≠ 1 ↔ ↔ ↔ 4 ∆′ ≥ 0 2 ― ( ― 1)( ― 4) ≥ 0 5 ― 4 ≥ 0 ≥ 5 2m 2 x x x x 2 (1) 1 2 m 1 1 2 m 1 Theo hệ th ức Viét ta có : m 4 3 x .x x .x 1 (2) 1 2 m 1 1 2 m 1 2 2 Rút mtừ (1) ta có : x1 x2 2 m 1 (3) m 1 x1 x2 2 3 3 Rútm từ (2) ta có : 1 x1x2 m 1 (4) m 1 1 x1x2 Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: 2 3 2 1 x1x2 3 x1 x2 2 3 x1 x2 2x1x2 8 0 x1 x2 2 1 x1x2 Nhận xét:- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức Viét rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đóđồng nhất các vế ta sẽđược một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. 2 b)Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình : m 1 x 2mx m 4 0 . Chứng minh rằng biểu thức A 3 x1 x2 2x1x2 8 không phụ thuộc giá trị của m. Nhận xét: Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình nhưng về nội dung không khác Ví dụ 9. Khi làm bài cần lưu ý: + Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm + Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện Giải : Để phương trình trên có 2 nghiệmx1 vàx2 thì : ≠ 1 ― 1 ≠ 0 ≠ 1 ≠ 1 ↔ ↔ ↔ 4 ∆′ ≥ 0 2 ― ( ― 1)( ― 4) ≥ 0 5 ― 4 ≥ 0 ≥ 5 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page18
19. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et 2m x x 1 2 m 1 Theo hệ thức Viét ta có : thay vào A ta c ó: m 4 x .x 1 2 m 1 2m m 4 6m 2m 8 8(m 1) 0 A 3 x x 2x x 8 3. 2. 8 0 1 2 1 2 m 1 m 1 m 1 m 1 4 Vậy A = 0 với mọi m 1 và m . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m 5 6.3: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Phương pháp :Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Viét để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Bài 16:Cho phương trình : mx2 6 m 1 x 9 m 3 0 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài giải: Điều kiệnđể phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 l à : m 0 m 0 m 0 m 0 2 ' 9 m2 2m 1 9m2 27 0 ' 9 m 1 0 m 1 ' 3 m 21 9(m 3)m 0 6(m 1) x x 1 2 m Theo hệ thức Viét ta có: và từ giả thiết: x1 x2 x1x2 . Suy ra: 9(m 3) x x 1 2 m 6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 6m 6 9m 27 3m 21 m 7 m m (thoảmãnđiều kiện xácđịnh ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài 17:Cho phương trình : x2 2m 1 x m2 2 0 . Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page19
20. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2 5 x1 x2 7 0 Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là 7 ' (2m 1)2 4(m2 2) 0 4m2 4m 1 4m2 8 0 4m 7 0 m 4 x x 2m 1 1 2 3x x 5 x x 7 0 Theo hệ thức Viét ta có: 2 và từ giả thiết 1 2 1 2 . Suy ra x1x2 m 2 3(m2 2) 5(2m 1) 7 0 3m2 6 10m 5 7 0 m 2(TM ) 3m2 10m 8 0 4 m (KTM ) 3 Vậy với m= thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2 5 x1 x2 7 0 Bài 18:Cho phương trình x2 2(m 1)x 2m 5 0 a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m. b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: 2 2 (x1 2mx1 2m 1)(x2 2mx2 2m 1) 0 Giải: a) '= m2 – 4m + 6 = (m – 2)2 + 2 > 0,m pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. 2 x1 2(m 1)x1 2m 5 0 b) Phương trình có hai nghiệm x ; x nên: 1 2 2 x2 2(m 1)x2 2m 5 0 2 x1 2mx1 2m 1 4 2x1 2 x2 2mx2 2m 1 4 2x2 x1 x2 2m 2 Theo định lí Vi-et ta có : x1.x2 2m 5 Theo bài ra ta có : 2 2 (x1 2mx1 2m 1)(x2 2mx2 2m 1) 0 4 2x1 . 4 2x2 0 16 8 x1 x2 4x1x2 0 3 16 8 2m 2 4 2m 5 0 m 2 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page20
21. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et 6.4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Phương pháp:Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: A m C (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*) k B Thì ta thấy : C m (v ì A 0) min C m A 0 C k (v ì B 0) max C k B 0 2 Bài 19:Cho phương trình : x 2m 1 x m 0.Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương 2 2 trình. Tìm m để :A x1 x2 6x1x2 có giá trị nhỏ nhất. x1 x2 (2m 1) Bài giải: Theo Viét: x1x2 m 2 2 2 Theo đề bài : A= 1 + 2 ―6 1. 2 = ( 1 + 2) ―8 1. 2 =(2m – 1)2 + 8m= 4m2 + 4m +1 = ( 2m +1)2 ≥ 0 1 Suy ra min A = 0 2m +1 = 0 m= 2 Bài 20:Cho phương trình : x2 mx m 1 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất 2x1x2 3 của biểu thức sau: B 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 x1 x2 m Giải : Theo hệ thức Viét thì : x1x2 m 1 2x1x2 3 2x1x2 3 2(m 1) 3 2m 1 B 2 2 2 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 (x1 x2 ) 2 m 2 m 2 Cách 1: Thêm bớtđểđưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn m2 2 m2 2m 1 m 1 2 Ta biếnđổi B như sau: B 1 m2 2 m2 2 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page21
22. Chuyên đề: Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et 2 2 m 1 Vì m 1 0 0 B 1 m2 2 Vậy max B=1 m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 1 1 1 m2 2m 1 m2 m2 4m 4 m2 2 2 m 2 1 B 2 2 2 2 m2 2 m2 2 2 m2 2 2 2 2 m 2 1 1 Vì m 2 0 0 B . Vậy min B m 2 2 m2 2 2 2 Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 vớiẩn là m vàB là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 2m 1 B Bm2 2m 2B 1 0 (Với m là ẩn, B là tham số) ( ) m2 2 Ta có: 1 B(2B 1) 1 2B2 B Để phương trình ( ) luôn có nghiệm với mọi m thì 0 hay 2B2 B 1 0 2B2 B 1 0 2B 1 B 1 0 1 B 2B 1 0 2 B 1 0 B 1 1 B 1 2B 1 0 1 2 B B 1 0 2 B 1 1 Vậy: max B=1 m = 1 ; min B m 2 2 Dạng 7: Bài tập tương quan giữa Parabol và đường thẳng Phương pháp : xét phương trình hoành độ giao điểm ta đưa về phương trình bậc hai Bài 21: Cho (P) : y= x2 và (d) : y= 2x – m2 + 9 a)Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m= 1 b)Tìm m để (d) và (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung Giải: a) Thay m =1 vào đường thẳng (d) ta được y= 2x +8 Nguyễn Thị Thu Trang- THCS Đình Bảng Page22