Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Góc với đường tròn (Tiếp theo)

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Góc với đường tròn (Tiếp theo)

1. CHUYÊN ĐỀ: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN A. Kiến thức cần nhớ I) Các loại góc: a) Góc ở tâm: - Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh ở tâm đường tròn. ( 푣à ) - Tính chất : Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn ( ·AOB 푠đ ¼AmB ) b) Góc nội tiếp : - Định nghĩa : Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây của đường tròn đó . 1 - Tính chất : Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. ( = 2푠đ B»C ) c) Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm : - Khái niệm: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có đỉnh nằm trên đường tròn, 2 cạnh gồm một cạnh là tia tiếp tuyến với đường tròn, cạnh còn lại chứa dây cung của đường tròn 1
2. - Tính chất : Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây bằng một nửa số đo 1 của cung bị chắn. ( »AB = 2푠đ ) d) Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn : - Định nghĩa: là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn - Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy . 1 ( »AD B»C = 2(푠đ + 푠đ ) e) Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn : - Khái niệm: là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, các cạnh đều có điểm chung với đường tròn 2
3. E E E A A n D A C B B C C m 1 1 1 B· EC (sđ B»C - sđ »AD ) B· EC (sđ B»C - sđ »AD ) B· EC (sđ ¼AmC - sđ ¼AnC ) 2 2 2 - Tính chất : Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc f) Quỹ tích cung chứa góc: - Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB . Đặc biệt là cung chứa góc 900 là đường tròn đường kính AB * Vẽ cung chứa góc trên đoạn AB: m d + Dựng đường trung trực d của AB. + Dựng tia Ax tạo với AB một góc , sau đó dựng y Ay vuông góc với Ax . O + O là giao của Ax’ và d. + Vẽ cung tròn AmB tâm O bán kính OA trên nửa A I B mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax + Vẽ cung tròn AnB đối xứng với cung AmB qua AB. x n g) Tứ giác nội tiếp đường tròn : - Đinh nghĩa: Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn . 3
4. - Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 2 góc vuông . - Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp + Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800. + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đó. + Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. + Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc . đỉnh đó. một tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 2 góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn . h) Chu vi đường tròn, cung tròn , diện tích hình tròn, quạt tròn: - Chu vi hình tròn: C = 2 R - Diện tích hình tròn: S = R2 O R Rn A - Độ dài cung tròn: l = 180 n R 2 n - Diện tích hình quạt tròn: S = O 180 B B. Bài tập Phần I. Trắc nghiệm: Câu 1. Góc nội tiếp chắn cung 1200 có số đo là: A. 1200 B. 900 C. 300 D. 600 Đáp án: D 4
5. Câu 2.Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài dường tròn, kẻ tiếp tuyến MA, cát tuyến MBC. Biết số đo các cung AC, AB lần lượt là 80º, 50º, số đo bằng A. 130º B. 65º C. 15° D. 30º Đáp án: C Câu 3. Cho hình bên,biết < 90°.Khẳng định nào sau B đây là đúng: 1 A. = B. = 2 A O C. = D. = C Đáp án: B Câu 4: Cho hình vẽ, biết. = 30°.Số đo cung bằng: A. 150 B. 300 C. 600 D. Một đáp số khác Câu 5: Hai bán kính OA, OB của đường tròn tạo thành góc ở tâm có số đo bằng 80 0. Số đo cung lớn AB là: A. 1600 B. 600 C. 2800 D. 800 Câu 6.Nếu tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn tâm O, ta có A. + 푃 = + 푄. C. = 푄 = 1v. B. = 푃 = 1v. D. Cả ba câu trên đều sai. Đáp án a. Câu 7: Cho hình vẽ, biết = 50° thì bằng: C x A. 250 B. 500 O 0 C. 100 0 50 B D. Một đáp số khác A Đáp án: B Câu 8. Trong các tứ giác sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn? Hãy trọn câu trả lời đúng. A. Hình thoi. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. hình thang. Đáp án B. 5
6. 0 Câu 9: Cho hình bên,biết = 70 . C Số đo là: 0 0 0 0 A. 70 B. 140 C. 35 D. Kết quả khác 70 O A Đáp án: A B M Câu 10: Hãy chọn ra tứ giác nội tếp được đường tròn trong các tứ giác sau C D C D D C 130 D 80 B A   j 60 65 65 60 75 90 70 C A B B B A A (D) (A) (B) (C) Đáp án: B Câu 11: Trên đường tròn (O;R), lấy 2 điểm A và B sao cho số đo cung nhỏ AB bằng 90 0. Độ dài dây AB (tính theo R) là: R 3 A. R B. R 2 C. R 3 D. 2 Đáp án: B Câu 12. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn biết = 3 .Số đo các ; lần lượt là: 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 45 ; 135 B. 30 ; 90 C. 50 ; 150 D. 40 ; 120 Đáp án a. x Câu 13: Cho hình vẽ: Nếu = 25° thì bằng: B A. 600 B. 650 C. 700 D. 1300 A Đáp án: B O Câu 14: Cho hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính 2cm.Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông là: 2 1cm B. 4cm C. 2 cm D. 2 Đáp án : C Câu 15: Cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính 2cm là : A. 2 3 cm B. 2cm C.2,5cm D. 2 2 cm Đáp án: D 0 Câu 16: Độ dài cung 120 của cung tròn bán kính 3cm là? 6
7. A. 6 (cm) B. 4 (cm) C. (cm) D. 2 (cm) Đáp án : D Câu 17: Bánh xe đạp có đường kính là 650mm.Hỏi một vòng quay của bánh xe đi được quãng đường gần đúng nhất là : A. 1221mm B. 2041mm C. 1300mm D.4082mm Đáp án: B Câu 8: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 12cm, AC = 16cm. Độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: A. 10 B.30 C. 20 D. 15 Đáp án: C Câu 19: Cho (O) nội tiếp tam giác MNP cân tại M. M Gọi E; F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh MN, MP. Biết 푃 = 50°. Khi đó, cung nhỏ EF của (O) có số đo bằng: E F A.1000 . B.800 . C.500 . D.1600 . Đáp án: A O Câu 10. Cho hình vẽ có (O) dây .Đường kính CD 50° D P cắt dây AB tại M tạo thành = 450, biết số đo cung AD N A M nhỏ là 15°. Khi đó số do cung BC nhỏ là: 45° A. 75º B. 90° C .115º D . 140° B O Đáp án: A Phần II. Tự luận C Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD, CE cắt nhau tại H a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh: AD.AC = AE.AB . c) Chứng minh rằng: A  DE . d) AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng khi A thay đổi còn BC cố định sao cho tam giác ABC nhọn thì HI luôn đi qua một điểm cố định Hướng dẫn chứng minh : 7
8. a) D, E cùng nhìn BC dưới một góc 900 nên tứ giác BEDC nội Với giả thiết của bài toán trên chúng ta có thể khai thác bài toán theo nhiều hướng và ra được nhiều câu hỏi : - Kéo dài các đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ở D’ , E’ , F’ . Chứng minh : - H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F’ - ED // E’D’. - OA  E’D’. abc - Các đường tròn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính bằng nhau S = . ABC 4R b) Hai tam giác vuông ABD và ACE đồng dạng . Suy ra AD.AC = AE.AB . c) Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) A  Ax Chứng minh: x· AB ·ACB (cùng chắn cung AB). ·AED ·ACB (vì cùng bù với B· ED ) . Nên x· AB ·AED . Suy ra Ax // ED mà A  Ax A  DE . Nhận xét : - Vẽ hình bình hành BHCK , I là trung điểm của BC . Chứng minh : - Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm trên đường tròn (O) . - B· AH O· AC . - H , I , K thẳng hàng . - AH // OI ; AH = 2.OI . Nếu B , C cố định A di động thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi . - Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH tại M thì A,B,C,K,M cùng nằm trên một đường tròn . d) Ta có: BH // CI ( cùng vuông góc với AC) CH // BI ( cùng vuông góc AB) 8
9. =>tứ giác BHCI là hình bình hành => IH đi qua trung điểm K của BC cố định Bài 2: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE 1. Chứng minh năm điểm A, H, O, B, C cùng nằm trên một đường tròn 2. Chứng minh HA là phân giác gócBHC 3. Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI.AH 4. BH cắt (O) ở K. Chứng minh AE // CK B E H I D O A K C 1/ Chứng minh: Năm điểm A; B; O; C; H cùng nằm trên một đường tròn: H là trung điểm EB OHED (Định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) = 90°. Mà = = 90° (tính chất tiếp tuyến) Năm điểm A; B; O; H; C cùng nằm trên đường tròn đường kính OA. 2/C/m HA là phân giác của Do AB; AClà 2 tiếp tuyến cắt nhau = tứ giác ABHO nội tiếp => = (Cùng chắn cung AB) và tứ giác AHOC nội tiếp => = (cùng chắn cung AC) = đpcm. 3/ Xét hai tam giác ABH vaø AIB có A chung và = (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) ABH∽ AIB đpcm. 4/C/m AE//CK. 1 Do = (cùng chắn cung AB) và 퐾 = Sđ B»C (góc nội tiếp) 2 1 Sđ = sđ B»C (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây) 2 9
10. 퐾 = C K//AE Bài 3: Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài đường tròn.Vẽ tiếp tuyến PC của (O) (C là tiếp điểm) và cát tuyến PAB (PA< PB) sao cho các điểm A, B, C nằm cùng phía so với đường thẳng PO.Gọi M là trung điểm của AB và kẻ đường kính CD. a. Chứng minh tứ giác PCMO nội tiếp; b. Gọi E là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng BD. Chứng minh AM.DE = AC.DO c) Chứng minh CE ⊥ CA C P A B M O E D a) Xét (O) có: + MA = MB (gt) và AB không đi qua O OM ⊥ AB tại M (định lý) + PC là tiếp tuyến tại tiếp điểm C(gt) PC ⊥ OC tại C (định lý) Xét tứ giác PCMO có: 푃 = 푃 = 90° Mà C và M là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác PCMO cùng nhìn cạnh PO nên tứ giác PCMO nội tiếp (dhnb) b)Theo a, ta có tứ giác PCMO nôi tiếp nên 푃 = 푃 (cùng chắn cung CP) mà 푃 = (đối đỉnh) nên = Xét ∆AMC và ∆DOE có: = (cmt) = (cùng chắn cung CP của đường tròn (O)) Do đó: ∆AMC và ∆DOE đồng dạng (g.g) AM AC AM.DE DO.AC (đpcm) DO DE 10
11. AC AM 2AM AB c)Theo b, có: DE DO 2DO CD Xet ACB và DEC có: (cùng chắn cung CB của (O)) ∆ ∆ = ; = ∆ACB và ∆DEC đồng dạng (c.g.c) = Mà = 푃(cùng chắn cung CA của (O)) suy ra = 푃 Do đó: + = 푃 + = 90° Vậy CE ⊥ CA Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, trên cùng một nửa đường tròn (O) lấy 2 điểm G và E (theo thứ tự A, G, E, B) sao cho tia EG cắt tia BA tại D. Đường thẳng vuông góc với BD tại D cắt BE tại C, đường thẳng CA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp. b) Chứng minh: BF = BG C DA DG.DE c) Chứng minh: BA BE.BC 1 Hướng dẫn a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp. E Ta có: (góc nt chắn nửa đường tròn) 1 퐹 = 90° G Ta có: = 퐹 = 90° 2 D, F thuộc đường tròn đường kính BC D B A O 1 Nên tứ giác DFBC nội tiếp đường tròn đường kính BC b) Chứng minh: BF = BG F Ta có: = 90°(góc nt chắn nửa đường tròn) => = 90° Ta có: + = 180° Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn đường kính AC => 1 = 1(vì 2 góc nt cùng chắn cung DA) Ta có: 1 = 1 (vì 2 góc nt cùng chắn cung DF của đường tròn đường kính BC) Do đó: 1 = 1=> cung AG = cung AF => Cung BG = cung BF => BG = BF DA DG.DE c) Chứng minh: BA BE.BC Ta chứng minh được: 11
12. DG DB DGB ∽ DAE (g – g) DG.DE DA.DB (1) DA DE BE BA BEA ∽ BDC (g – g) BE.BC BA.BD (2) BD BC DG.DE DA.DB DA Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) BE.BC BA.BD BA Bài 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. M là một điểm tùy ý bất kỳ trên cung AC (M khác A, C và điểm chính giữa cung AB), BM cắt AC tại H. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB. a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK c) Kẻ CP vuông góc với BM (P thuộc BM) và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ME=2CP. C M H P E A B K O a) Xét tứ giác BCHK cóHCB = 90° góc nt chắn nửa đường tròn ; HKB = 90° (gt) =>HCB + HKB = 90° +90° = 180°. Vậy tứ giác CHKB nội tiếp b) Tứ giác BHCK nội tiếp => 퐾 = ( cùng chắn cung HK) Xét (O) có = ( cùng chắn cung MA) Từ (1), (2) => 퐾 = => CA là phân giác 퐾 c) Xét ∆CMA và ∆CEB có: MA = EB (gt); = ( cùng chắn cung MC) CA = CB(∆CAB vuông cân) => ∆CMA = ∆CEB (cgc) => CM = CE => ∆CME vuông cân tại C 12
13. Mà = = 45°( cùng chắn cung CB) => = 45° => = 90° Vậy ∆CME vuông cân tại C MµCP  ME(gt)nªn ®­êngcaoCPcònglµ trungtuyÕn CME Do®ãPM PE CP ME 2CP Bài 6: Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn.Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CDAB; CEMA; CFMB. Gọi I và K lần lượt là giao điểm của AC với DE và BC với DF. Chứng minh: 1. AECD là tứ giác nội tiếp. 2. CD2 = CE.CF 3. Tia đối của tia CD là phân giác của FCE. 4. IK//AB AB F K x C M D O I E A 1/C/m: AECD nt: (tổng 2 gócB đối) 2/ CD2 = CE.CF. Xét ∆ CDF và ∆ CDE có: -Do AECD nt = (cùng chắn cung CD) -Do BFCD nt 퐹 = 퐹(cùng chắn cung CF) 1 Mà = sđ cung BC(góc nt chắn cung BC) 2 1 Và 퐹= sđ cung BC(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây) = 퐹 (1) 2 Do AECD nt và BFCD nt + = 퐹 + 퐹 = 180°. Mà = 퐹 (t/c hai tt cắt nhau) 퐹 = (2).Từ (1) và(2) CDF∽ CED đpcm. 3/gọi tia đối của tia CD là Cx,Ta có 퐹 = 180° ― 퐹 và = 180° ― .Mà theo cmt có: 퐹 = 퐹 = đpcm. 4/C/m: IK//AB. 13
14. Ta co 퐹 = 퐹 = (cmt) Do ADCE nt = (cùng chắn cung CE) = (góc nt và góc tạo bởi tia tt cùng chắn 1 cung) = .trong CBA có + + = 180° hay 퐾 + 퐾 = 180° DKCI nội tiếp 퐾 = 퐾 (cùng chắn cung CK) = 퐾 KI//AB. Bài 7: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O).Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC. Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB a) Chứng minh MA là tia phân giác của góc BMC b) Tam giác BMD là tam giác gì? c) So sánh hai tam giác ADB và CMB d) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để MA+ MB + MC lớn nhất a)AMC = ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC AMB = ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Mà ABC = do đó AMC = . Vậy MA là phân giác của góc BMC b)BMD = =>BMD = 60° Mà MB = MD => tam giác BMD đều c) cóMBC = ( Cùng cộng với ằ푛 60°) BAD = ; AB = BC => ∆ABD = ∆CBM d) ∆ABD = ∆CBM => AD = MC => MA = MD + DA = MB + MC => MA + MB + MC = 2MA => MA + MB + MC lớn nhất  MA lớn nhất  M là điểm chính giữa cung BC 14
15. Bài 8: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm C nằm trên nửa đường tròn (C khác A, B). Kẻ CH  AB (H AB) a) Gọi M là trung điểm của CH. Tia Mx  CO ở D và cắt nửa đường tròn ở E. Chứng minh CE2 = 2CD.CO; b) Chứng minh rằng khi điểm C di động trên nửa đường tròn (O) thì đường tròn (C; CE) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Hướng dẫn C x E M D A B H O F a) Vẽ tia CO cắt nửa đường tròn ở điểm F khác điểm C. Khi đó CF là đường kính của đường tròn (O) CF 2.CO Do 퐹 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CF nên 퐹 = 90° Áp dụng hệ thức (1), hệ thức giữa cạnh và đường cao trong CEF vuông tại E, đường cao ED, ta có: CE 2 CD.CF mà CF = 2. CO CE 2 CD.2.CO Hay CE 2 2.CO.CD b) Chứng minh CDM đồng dạng với CHO (G - G) CD CM 1 CD.CO CM.CH mà CM CH (Vì M là trung điểm của CH) CH CO 2 1 CD.CO CH.CH CH 2 2.CD.CO màCE 2 2.CO.CD 2 CH 2 CE 2 CH CE H thuộc đường tròn (C; CE) Lại có CH  AB tại H nên AB là tiếp tuyến với đường tròn (E; CE) tại H 15
16. mà AB cố định nên khi điểm C thay đổi trên nửa đường tròn (O) thì đường tròn (E; CE) luôn tiếp xúc với đường thẳng AB cố định. 16