Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Góc với đường tròn

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Góc với đường tròn

1. TRƯỜNG THCS CHÂU KHÊ CHUYÊN ĐỀ: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN A/ GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY I. KIẾN THỨC CƠ BẢN *GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG 1. Góc ở tâm Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi làgóc ở tâm. Nếu 00 1800 thì cung nằm bên trong góc được gọi làcung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi làcung lớn. Nếu 1800 thì mỗi cung là một nửa đường tròn. Cung nằm bên trong góc được gọi làcung bị chắn. Góc bẹt chắnnửa đường tròn. Ki hiệu cung AB là . 2. Số đo cung Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ . Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn). Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 . Cung cả đường tròn có số đo 3600 . Cung không có số đo 00 (cung có 2 mút trùng nhau). 3. So sánh hai cung Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn đgl cung lớn hơn. 4. Định lí Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ = sđ + sđ . Trang 1
2. *LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY 1. Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. 2. Định lí 2 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. 3. Bổ sung a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy. c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG * Để tính số đo cung nhỏ ta đi tính số đo góc ở tâm và ngược lại. * Nhờ có hai cung bằng nhau, ta chứng minh được hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Bài 1. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB R 2 . Tính số đo của hai cung AB. ĐS: 900;2700 . 1 Bài 2. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng 2 số đo của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB. R2 3 ĐS: S . 4 Bài 3. Cho (O; 5cm) và điểm M sao cho OM=10cm. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Trang 2
3. Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra. HD: 1200 . Bài 4. Cho tam giác đều ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E. So sánh các cung BD, DE và EC. HD:. = = Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Biết = 500, hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC. HD: = > AC =AB > = > . Bài 6. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ các đường kính AOE, AO F và BOC. Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng các cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau. HD: Chứng minh E, B, F thẳng hàng; BC // AD. B. CÁC LOẠI GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN. TỨ GIÁC NỘI TIẾP I. KIẾN THỨC CƠ BẢN *GÓC NỘI TIẾP 1. Định nghĩa Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi làcung bị chắn. 2. Định lí Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 3. Hệ quả Trong một đường tròn: a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Trang 3
4. *GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 1. Định lí Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 2. Hệ quả Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 3. Định lí (bổ sung) Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn. *GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN. Định lí 1 Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Định lí 2 Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. *TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1. Định nghĩa Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi làtứ giác nội tiếp đường tròn. 2. Định lí Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 . Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn. Trang 4
5. Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Tứ giác có một góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Tứ giác ABCD có = thì tứ giác ABCD nội tiếp được (theo quỹ tích cung chứa góc). Chú ý: Trong các tứ giác đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn. II. LUYỆN TẬP Các câu hỏi thường gặp trong các bài toán hình : 1. Chứng minh : Nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn (đặc biệt là 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp ) . 2. Chứng minh hai đường thẳng song song, vuông góc với nhau . 3. Chứng minh đẳng thức hình học . 4. Nhận biết hình là hình gì? (có thể là tam giác cân , hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình thang cân ). Lưu ý: Khi chứng minh tứ giác là hình thang cân không được chứng minh là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau. 5. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy; 3 hay nhiều điểm thẳng hàng. 6. Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn, tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 7. Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt. 8. Toán cực trị hình học. 9. Toán các đại lượng hình học: Đoạn thẳng, cung, góc, chu vi, diện tích Trong các dạng câu hỏi trên tùy theo từng bài mà ra các câu hỏi sao cho có sự logic giữa các câu thứ nhất, thứ hai và các câu sau. Trang 5
6. Thông thường kết quả của các câu trên bao giờ cũng là giả thiết để chứng minh câu dưới, đôi khi cần vẽ thêm hình thì bài toán trở lên đơn giản hơn. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD, CE . a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB . c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng Ax // ED . Hướng dẫn chứng minh : A x D E O B C a) D, E cùng nhìn BC dưới một góc 900 nên tứ giác BEDC nội tiếp . b) Hai tam giác vuông ABD và ACE đồng dạng . Suy ra AD.AC = AE.AB . c) xAˆ B = ACˆ B vì cùng chắn cung AB. AEˆ D = ACˆ B vì cùng phụ với góc BED . Nên xAˆ B = AEˆ D . Suy ra Ax // ED . Nhận xét : Với giả thiết của bài toán trên chúng ta có thể khai thác bài toán theo nhiều hướng và ra được nhiều câu hỏi : - Kéo dài các đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ở D’, E’, F. BD cắt CE tại H. Chứng minh : H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F’ . H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC . ED // E’D’. OA  E’D’. Trang 6
7. Các đường tròn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính bằng nhau . abc S = . ABC 4R - Vẽ hình bình hành BHCK , I là trung điểm của BC . Chứng minh : Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm trên đường tròn (O) . BAˆ H = OAˆ C . H , I , K thẳng hàng . AH // OI ; AH = 2.OI . Nếu B , C cố định A di động thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi . Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH tại M thì A,B,C,K,M cùng nằm trên một đường tròn. Chú ý: Sử dụng các định lí về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ta chứng minh được các góc bằng nhau, từ đó có các tam giác đồng dạng, do đó chứng minh được nhiều hệ thức liên hệ giữa các độ dài. Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. a/ Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. b/ Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. c/ Chứng minh BAF là tam giác cân. d/ Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. Hướng dẫn chứng minh : Trang 7
8. a/ Ta có: = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường I tròn) => 퐾 퐹 = 900(vì là hai góc kề bù). F = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) M H E => 퐾 퐹 = 900(vì là hai góc kề bù). K => 퐾 퐹 + 퐾 퐹 = 1800. A O B Mà 퐾 퐹푣à 퐾 퐹 là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp. b/ Ta có = 900 (vì AI là tiếp tuyến) => AIB vuông tại A có AM  IB ( theo trên). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có AI2 = IM . IB. c/ Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME => ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE  AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2). Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân tại B. d/ BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3) Từ BE  AF => AF  HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6). Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường). Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ (B khác O, C). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. a/ Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . Trang 8
9. b/ Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. c/ Chứng minh BI // AD. d/ Chứng minh I, B, E thẳng hàng. e/ Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’). Hướng dẫn chứng minh : D I M A C O B O' E a/ BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) => BID = 900 ( hai góc kề bù); DE  AB tại M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp. b/ Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE  AB tại M nên M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đường kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường . c/ ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn) => AD  DC; theo trên BI  DC => BI // AD. (1) d/ Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2). Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B chỉ có một đường thẳng song song với AD mà thôi.) e/ I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông tại I => IM là trung tuyến (vì M là trung điểm của DE) =>MI = ME => MIE cân tại M => I1 = E1 ; Trang 9
10. O’IC cân tại O’ (vì O’C và O’I cùng là bán kính ) => I3 = C1 mà C1 = E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 . 0 0 Mà I3 + I2 = BIC = 90 => I1 + I2 = 90 = MIO’ hay MI  O’I tại I => MI là tiếp tuyến của (O’). Ví dụ 4. Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC ABC cân tại A. M I A b/ Theo giả thiết MI  BC => MIB = 900; MK  AB O Q => MKB = 900. H C => MIB + MKB = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp * (Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp tương tự tứ giác BIMK) c/ Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => KMI + KBI = 1800; tứ giác CHMI nội tiếp => HMI + HCI = 1800 mà KBI = HCI ( vì tam giác ABC cân tại A) => KMI = HMI (1). Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp Trang 10
11. => BM = IM ( nội tiếp cùng chắn cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp => HM = CM ( nội tiếp cùng chắn cung IM). Mà BM = CM ( = 1/2 sđ ) => IM = HM (2). Từ (1) và (2) => MKI ∽ MIH => => MI2 = MH.MK d/ Theo trên ta có IM = CM; PIQ + PMQ = 1800 , mà đây là hai góc đối NHAU => tứ giác PMQI nội tiếp => PQM = IM mà IM = CM => PQM = CM => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI BC nên suy ra IM  PQ. Ví dụ 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn . Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. a/ Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp . b/ Chứng minh NE  AB. c/ Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O). d/ Chứng minh FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). Giải a/ (HS tự làm) b/ (HD) Dễ thấy E là trực tâm của tam giác NAB => NE  AB. c/ Theo giả thiết A và N đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm của AN; F và E xứng nhau qua M nên M là trung điểm của EF => AENF là hình bình hành => FA // NE mà NE  AB => FA  AB tại A => FA là tiếp tuyến của (O) tại A. d/ Theo trên tứ giác AENF là hình bình hành Trang 11
12. => FN // AE hay FN // AC mà AC  BN => FN  BN tại N BAN có BM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (do M là trung điểm của AN) nên BAN cân tại B => BA = BN => BN là bán kính của đường tròn (B; BA) => FN là tiếp tuyến tại N của (B; BA). Ví dụ 6: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. a/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . b/ Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. c/ Chứng minh OAHB là hình thoi. d/ Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. Giải: a/ Vì K là trung điểm NP nên OK  NP (quan hệ đường kính và dây cung) =>OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900 Như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. b/ Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB = R => OM là trung trực của AB => OM  AB tại I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao. Trang 12
13. áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2. c/ Ta có OB  MB (tính chất tiếp tuyến) AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi. d/ Theo trên OAHB là hình thoi => OH  AB; cũng theo trên OM  AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB). III. BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1. Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB và dây AC = R . a) So sánh các góc của tam giác ABC. b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của góc ACB. HD: a) = 300 < = 600 < = 900 b) Chứng minh các tia AN, BM là các tia phân giác của các góc A và B. Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A ( < 900). Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng: 1 a) Tam giác DBE cân. b) = 2 HD: a) = ⟹ = ; b) = . Bài 3. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường kính MN  BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC. HD: MN  BC = . Bài 4. Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK Trang 13
14. và BI. a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, B thẳng hàng. b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. c*) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB. HD: a) = 1800 b) AK, BI là các đường phân giác của MAB c) AB = 20 cm. Chứng minh r p a r 4cm . Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên một nửa đường tròn đó. Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng: a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng. b) ID  MN. HD: a) = 900 MN là đường kính. b) Chứng minh O, I, C thẳng hàng; = MN // AB; ID  AB. Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF. a) Tứ giác BFCH là hình gì? b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng. 1 c) Chứng minh rằng OM AH . 2 HD: a) Chứng minh 퐹 = 퐹 = 900 CE // BF, BD // CF BFCH là hình bình hành. b) Dùng tính chất hai đường chéo của hình bình hành. c) Dùng tính chất đường trung bình của tam giác AHF. Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn, C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuông góc với CM tại F. a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân. b) Vẽ CH  AB. Chứng minh rằng tia CM là tia phân giác của góc ·HCO . Trang 14
15. 1 c) Chứng minh rằng CD AE . 2 HD: a) Chứng minh FAC và FEM vuông cân tại F AE = CM; = = 450 AC // ME ACEM là hình thang cân. b) = = CD CH DH 1 1 c) HDC ∽ ODM 1 CD ≤ MD CD CM AE . MD MO DO 2 2 Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Biết µA 900 . Tính độ dài BC. HD: Vẽ đường kính BD. = = . BC BD.sin D 2Rsin . Bài 9. Cho đường tròn (O) có hai bán kính OA và OB vuông góc. Lấy điểm C trên 푠đ 4 đường tròn (O) sao cho . Tính các góc của tam giác ABC. 푠đ = 5 Bài 10. Cho đường tròn (O) có đường kính AB vuông góc dây cung CD tại E. Chứng minh rằng: CD2 4AE.BE . Bài 11. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. a) Chứng minh rằng tia CA là tia phân giác của góc MCH. b) Giả sử MA = a, MC = 2a. Tính AB và CH theo a. HD: a) = = b) Chứng minh MA.MB MC2 MB 4a , AB 3a . 6 MC.OC = CH.OM CH a 5 Bài 12. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi M, N, P lần lượt là các giao điểm của đường tròn (O) với các ti OA, OB, OC. Chứng minh rằng các điểm M, N, P lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp các tam giác ADF, BDE và CEF. Trang 15
16. HD: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. Bài 13. Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc vớiđường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường tròn (O ) tại D. Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D, cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng: a) + = 1800. b) Tứ giác BCED là hình bình hành. HD: a)Chứng minh = , = + = + + = 1800 b) Chứng minh = = , = = BC // DE, BD // CE. Bài 14. Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây BC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O ). Vẽ dây BD của đường tròn (O ) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng: BC AC a) AB2 AC.AD b) . BD AD 2 AB AC BC BC AB AC AC HD: a) ABC ∽ ADB đpcm.b) . . AD AB BD BD AD AB AD Bài 15. Cho đường tròn (O) và ba điểm A, B, C trên (O). Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến tại A ở M. So sánh các góc: , , Bài 16. Cho hai đường tròn (O, R) và (O , R ) (R > R ) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Qua A vẽ hai cát tuyến BD và CE (B, C (O ); D, E (O)). Chứng minh: = . Bài 17. Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là điểm trên cung AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì IC = CM. a) Tính góc AOI. b) Tính độ dài OM. Bài 18. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy các điểm I và K sao cho = 퐾. Dây IK cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. a) Chứng minh rằng 퐾 = . b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì tứ giác DECB là hình thang cân. Trang 16
17. HD: a) 퐾 = 푠đ 퐾 푠đ = 푠đ = b) = . 2 2 Bài 19. Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh rằng: AE AF a) Các tam giác INE và INF là các tam giác cân.b) AI . 2 1 HD: a) = 2푠đ = b) AI AE IE, AI AF IF đpcm. Bài 20. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN là tam giác cân. b) Các tam giác EAI và DAI là những tam giác cân. c) Tứ giác AMIN là hình thoi. HD: a) = , = , 퐹 = 퐹 = b) = DA = DI c) Chứng minh NI // AM, MI // AN, AM = AN đpcm. Bài 21. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. 1 HD: = 2푠đ = MA = MC = MB. Bài 22. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC và ADE (B nằm giữa A và C; D nằm giữa A và E). Cho biết = 500, 푠đ = 400. Chứng minh CD  BE. 1 0 HD: = 2 푠đ ― 푠đ ⟹푠đ = 140 . 1 0 Gọi { }= CD  BE = 2 푠đ + 푠đ = 90 Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và =∝ (00 <∝< 900). Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AC. Vẽ tia Bx AM, cắt tia CM tại D. a) Tính số đo góc . b) Chứng minh rằng MD = MB. Trang 17
18. ∝ 0 HD: a) = 90 ― 2 b) MBD cân MD = MB. Bài 24. Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm E di động trên cạnh AB. Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với tia CE tại D và cắt tia CA tại H. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADBC nội tiếp. b) Góc có số đo không đổi khi E di động trên cạnh AB. c) Khi E di động trên cạnh AB thì BA.BE CD.CE không đổi. HD: a) = = 900 b) = d) Vẽ EK  BC. KBE ∽ ABC BE.BA = BK.BC; KCE ∽ DCB CE.CD = CK.CB. Bài 25. Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây AC. Từ một điểm D trên AC, vẽ DE  AB. Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại F. Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCDE nội tiếp. b) 퐹 = . HD: a) + = 1800 b) AECF nội tiếp 퐹 = . Bài 26. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy hai điểm C và D trên nửa đường tròn sao cho = = . Các tiếp tuyến vẽ từ B và C của nửa đường tròn cắt nhau tại I. Hai tia AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a) Các tam giác KAB và IBC là những tam giác đều. b) Tứ giác KIBC nội tiếp. HD: a) Chứng minh mỗi tam giác có hai góc 600 b) 퐾 = = 600. Bài 27. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn. Trên tia Bx lấy hai điểm C và D (C nằm giữa B và D). Các tia AC và BD lần lượt cắt đường tròn tại E và F. Hai dây AE và BF cắt nhau tại M. Hai tia AF và BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác FNEM nội tiếp. b) Tứ giác CDFE nội tiếp. HD: a) = 퐹 = 900 b) + 퐹 = 1800. Bài 28. Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC. a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó. Trang 18
19. b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Chứng minh rằng năm điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn. HD: a) BHCD là hình bình hành = = 900. O là trung điểm của AD. b) = 퐹 = = 900. Bài 29. Cho đường tròn (O) và một điểm A trên đường tròn (O). Từ một điểm M trên tiếp tuyến tại A, vẽ cát tuyến MBC. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp. Bài 30. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Một góc vuông quay quanh O, hai cạnh của góc cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Hai đường thẳng OD và Ax cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) AC.BD R2 . b) Tam giác CDE là tam giác cân. c) CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O). HD: a) AOC ∽ BDO AC.BD OA.OB R2 . b) CDE có CO vừa là đường cao, vừa là trung tuyến. c) Vẽ OF  CD FOD = AOE OF = OA = R CD là tiếp tuyến của (O). Bài 31. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM R 3 . Vẽ tiếp tuyến MC (C là tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BC tại D. a) Chứng minh rằng BD // OM. b) Xác định dạng của các tứ giác OBDM và AODM. c) Gọi E là giao điểm của AD với OM, F là giao điểm của MC với OD. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của đường tròn (O). HD: a) = BD // OM.b) OBDM là hình bình hành, AODM là hình chữ nhật. c) OE = R, FE  OE EF là tiếp tuyến của (O). Bài 32. Cho hai đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AOC và AO D. Đường thẳng AC cắt đường tròn (O ) tại E. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh rằng: a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng. Trang 19
20. b) Tứ giác CDEF nội tiếp. c) A là tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) của tam giác BEF. HD: a) = = 900. b) = 퐹 = 900. c) Chứng minh FA là tia phân giác trong (hoặc ngoài) của góc F, EA là tia phân giác trong (hoặc ngoài) của góc E của BEF A là tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) của tam giác BEF. Bài 33. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AT và cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Gọi H là hình chiếu của T trên OA. Chứng minh rằng: a) AT 2 AB.AC b) AB.AC AH.AO c) Tứ giác OHBC nội tiếp. HD: a) ATB ∽ ACT AT 2 AB.AC . b) AB.AC AH.AO AT 2 . c) AOC ∽ ABH = + = 1800 OHBC nội tiếp. Bài 34. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Vẽ dây AD // BC. Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: a) = . b) Năm điểm E, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn. c) IO  IE. HD: a) = 푠đ = . b)ABOI, AOBE nội tiếp.c) = = 900 IO  IE Bài 35. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết BC = 2cm, = 450. a) Tính diện tích hình tròn (O). b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC. c) Xác định vị trí của điểm A để diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. 2 HD: a) R OB 2 S 2 (cm2) b) S (cm2) vp 2 2 c) SABC lớn nhất A là điểm chính giữa cung lớn BC. Khi đó SABC 2 1(cm ). Bài 36. Cho tam giác ABC nhọn.Đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M. Gọi H là giao điểm của BM và CN. a) Tính số đo các góc BMC và BNC. Trang 20
21. b) Chứng minh AH vuông góc BC. c) Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH. C. KẾT LUẬN . Trên đây là một sốđịnh hướng nhằm giải quyết một số vấnđề về“Góc với đường tròn’’. Vì thời gian có hạn, dung lượng kiến thức rộng lớn nên chuyên đề không thể tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong các bạnđồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu, gópý bổ sung để cho chuyên đềđạt hiệu quả cao hơn, góp phần nâng cao điểm trung bình môn toán của các bài thi vào lớp 10 THPT. Nhóm toán trường THCS Châu Khê Tháng 3 năm 2021 Trang 21