Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

1. UBND THỊ XÃ TỪ SƠN TRƯỜNG THCS TAM SƠN CHUYÊN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ * Bước 1: Lập hệ phương trình. - Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. * Bước 2: Giải hệ phương trình * Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời. (chú ý đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra, thử lại vào đề toán) . 2. LUYỆN TẬP CÁC DẠNG BÀI VÀ NHỮNG LỖI HỌC SINH THƯỜNG MẮC. DẠNG 1: DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG SỐ HỌC. Sai lầm thường gặp: - Không nắm vững được cấu tạo số - Đặt điều kiện sai - Không biết phân tích bài toán để lập được phương trình Cách khắc phục: * Kiến thức cần nhớ Ngoài kiến thức chung về giải toán, HS cần nắm được các kiến thức sau: 1. Cấu tạo thập phân của một số: + Số có hai chữ số: = 10a + b (a,b là các chữ số) + Số có ba chữ số: = 100a + 10b + c 2. Cấu tạo của phép chia có dư: số bị chia = số chia x thương + số dư 3. Việc thay đổi thứ tự các chữ số, thêm bớt chữ số. 4. Cấu tạo của một phân số, điều kiện phân số tồn tại. * Ví dụ: Bài toán 1: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124. (SGK toán 9 tập 2)
2. Hướng dẫn học sinh: - Bài toán có hai số tự nhiên: Một số lớn và một số nhỏ. - Mối quan hệ giữa hai số: Số lớn + số nhỏ = 1006 Số lớn = số nhỏ x thương + số dư Lời giải Gọi số lớn là x; số nhỏ là y. Điều kiện x; y N, x > y > 124 Tổng hai số bằng 1006, ta có phương trình: x + y = 1006 (1) Số lớn chia số nhỏ được thương là 2 và dư 124, ta có phương trình: x = 2y + 124 (2) + = 1006 = 712 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: = 2 + 124↔ = 294 (TMĐK) Trả lời: Số lớn là 712; số nhỏ là 294 Chú ý: Bài toán trên có thể lập phương trình. Bài toán 2: Tìm hai số biết tổng bằng 19 và tổng các bình phương của chúng bằng 185. Lời giải Gọi số thứ nhất là x, (0 < x <19). Ta có số thứ hai là 19 - x Vì tổng các bình phương của chúng bằng 185, nên ta có phương trình: x2 (19 x)2 185 x2 19x 88 0 x 11 (t.m) Giải phương trình, ta được: 1 x2 9 (t.m) Vậy hai số phải tìm là 11 và 9. DẠNG 2: DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Sai lầm thường gặp: - Không nhớ các đại lượng liên quan trong dạng toán chuyển động - Không phân loại được dạng toán chuyển động cùng chiều, ngược chiều -Thiếu kiến thức thực tế để đối chiếu kết quả bài toán
3. Cách khắc phục * Kiến thức cần nhớ 1. Công thức chuyển động đều: s s S = v. t (1) từ đó suy ra v ; t t v Trong đó: S - Quãng đường (km, m, cm ) v - Vận tốc (km/h, m/s .) t - Thời gian (giờ, phút, giây) 2. Chuyển động trong môi trường động (dòng nước, gió) : Vxuôi = Vthực + Vnước Vngược = Vthực - Vnước 3.Chuyển động cùng chiều, ngược chiều +) Nếu 2 xe chuyển động ngược chiều đến khi gặp nhau thì: (s) xe 1 đi + (s) xe 2 đi = (s) AB +) Nếu 2 xe chuyển động ngược chiều gặp nhau ở chính giữa quãng đường thì: (s) xe 1 đi = (s) xe 2 đi +) Nếu 2 xe cùng xuất phát mà xe 1 đến trước xe 2 là t (giờ) thì: (t) xe 2 đi - (t) xe 1 đi = t 4. Chuyển động đường tròn Hai vật xuất phát tại một điểm sau t (giờ) gặp nhau: +) Chuyển động cùng chiều: - Độ dài đường tròn = (t).(v1 - v2) (Giả sử v1, v2 là hai vận tốc của hai vật v1> v2) +) Chuyển động ngược chiều: - Độ dài đường tròn = (t).(v1 + v2) *Ví dụ: Bài toán 1: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A. (sgk toán 9 tập 2) Hướng dẫn học sinh:
4. * Phân tích bài toán: - Có ba đại lượng tham gia: S, v, t. * Công thức sử dụng: S S S = v. t; t = ; v = v t * Kết luận bài toán: Tính quãng đường AB và thời điểm xuất phát của xe? Lập bảng s v t Dự định x y Nếu chạy chậm 35.(y+2) 35 y + 2 Nếu chạy nhanh 50.(y-1) 50 y - 1 Lời giải: Gọi quãng đường AB là x (km) (ĐK: x > 0) Gọi thời gian dự định đi từ A đến B là y (h) (ĐK: y > 1) Nếu ô tô chạy vận tốc 35km/h thì thời gian đi từ A đến B là: y + 2 (h) Ta có phương trình: x = 35.(y+2) (1) Nếu ô tô chạy vận tốc 50km/h thì thời gian đi từ A đến B là: y - 1 (h) Ta có phương trình: x = 50.(y-1) (2) x 35(y 2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (I) x 50(y 1) = 35( + 2) 35( + 2) = 50( ― 1) = 35( + 2) = 8 = 120 (t/m) = 8 Vậy quãng đường AB là 120km, thời điểm xuất phát của ô tô tại A là 12- 8 =4(h)
5. Bài toán 2. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B. Lời giải: 1 Đổi 30 phút giờ. 2 Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x 0 ). Thời gian xe đi từ A đến B 24 là (giờ). x 24 Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc x 4 (km/h). Thời gian xe đi từ B về A là x 4 (giờ) Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình: 24 24 1 24 24 1 2 x 12 . Giải phương trình: x 4x 192 0 x x 4 2 x x 4 2 x 16 Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12km/h. Bài toán 3: Trên cùng một dòng sông, một canô chạy xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km hết tất cả 7 giờ. Nếu ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km thì hết 7 giờ. Tình vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước? Hướng dẫn giải: Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nước là: y (km/h) ( Điều kiện: x > y > 0) Thì vận tốc xuôi dòng là: x + y (km/h), vận tốc ngược dòng là: x - y (km/h) Vì thời gian xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km hết 7 giờ nên ta có phương trình: 108 63 + = 7 (1) x + y x - y Vì thời gian xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km hết 7 giờ nên ta có 81 84 phương trình: + = 7 (2) x + y x - y
6. 108 63 + = 7 x + y x - y 1 1 Từ (1) và (2) ta có hệ PT: đặt: a = ; b = 81 84 x + y x - y + = 7 x + y x - y 108a +63 b = 7 Ta có hệ phương trình: 81a 84b 7 1 1 1 a = = 27 x + y 27 x + y = 27 x = 24 ( thoả mãn ) 1 1 1 x - y = 21 y = 3 b = = 21 x - y 21 Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 (km/h), vận tốc của dòng nước là: 3(km/h) DẠNG 3: DẠNG TOÁN VỀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM Sai lầm thường gặp: - Hiểu sai về kí hiệu phần trăm - Phân tích sự tăng giảm khối lượng theo tỉ lệ % sai nhất là đối với dạng toán về lãi suất ngân hàng, bài toán về dân số Cách khắc phục *Kiến thức cần nhớ: 1. Quy tắc giải bài toán. 2. Mối liên hệ giữa các đại lượng: K, N, T: K = N. T Trong đó: K: Khối lượng công việc N: Năng suất lao động T: Thời gian lao động - Sự tỷ lệ giữa K và N là thuận nếu T không đổi - Sự tỷ lệ giữa K và T là thuận nếu N không đổi - Sự tỷ lệ giữa N và T là nghịch nếu K không đổi 3. Sự phân tích trong quá trình lao động. *Ví dụ: Bài toán 1: Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất cùng làm được 400 chi tiết máy. Sang tháng sau, tổ 1 vượt mức 10%, tổ II vượt mức 15%, nên cả 2 tổ sản xuất được 448 chi tiết
7. máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu chi tiết máy. (Tài liệu ôn thi vào 10 tỉnh Bắc Ninh) Hướng dẫn học sinh: - Bài toán có hai đối tượng tham gia (hai tổ sản xuất) . - Đề cập tới năng suất lao động của hai tổ khác nhau (phức tạp hơn) . - Sự tăng năng suất ở dạng phần trăm (học sinh hiểu được 10%, 15%) - Biết khối lượng công việc ban đầu và khi vượt mức. Lời giải: Gọi số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng đầu là x (chi tiết) Số chi tiết máy tổ II làm được trong tháng đầu là y (chi tiết) . Điều kiện: 0 < x; y < 400, x,y N Hai tổ sản xuất được 400 chi tiết, ta có phương trình: x + y = 400 (1) 10x Số chi tiết máy làm tăng được của tổ I là: (chi tiết) 100 15y Số chi tiết máy làm tăng được của tổ II là: (chi tiết) 100 Số chi tiết máy làm tăng được của hai tổ là: 448 – 400 = 48 (chi tiết) 10x 15y Ta có phương trình + = 48 (2) 100 100 x y 400 x 240 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 10 x 15 y (TMĐK) 48 y 160 100 100 Trả lời: Tháng đầu tổ I làm được 240 chi tiết Tổ II làm được 400 – 240 = 160 chi tiết Bài toán 2: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng là 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với các loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng là 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng? * Bảng số liệu
8. Số liệu chưa kể Số tiền có thuế Số tiền có thuế VAT thuế VAT VAT 10% và 8% 9% 110x 9x Loại hàng thứ I X x+10%x x+9%x x 100 100 108y 109y Loại hàng thứ II Y y+8%y y+9%y 100 100 Cả hai loại hàng 2,17 2,18 * Bài giải: Gọi số tiền phải trả cho loại hàng I không kể thuế VAT là x (triệu đồng). Số tiền phải trả cho loại hàng II không kể thuế VAT là y (triệu đồng). Đk: x,y>0. 100x Vậy loại hàng thứ nhất với mức thuế 10% phải trả: (triệu đồng). 100 108 Loại hàng thứ II với mức thuế 8% phải trả: y (triệu đồng). 100 110 108 Ta có phương trình: x y 2,17 100 100 109 Cả hai loại hàng với mức thuế 9% phải trả: (x y) (triệu đồng). 100 109 Ta có phương trình: (x y) =2,18. 100 110x 108y 217 Ta có hệ phương trình: 109(x y) 218 110x 108y 217 (1) Giải hệ phương trình: x y 2 (2) Từ (2) => x 2 y , thay x 2 y vào phương trình (1) 110( 2 y )+108 y = 217 y = 1,5 Thay y = 1,5 vào x 2 y , ta có: x 2 1,5 0,5 x 0,5 Nghiệm của hệ phương trình Giá trị này thỏa mãn điều kiện của ẩn. y 1,5  Vậy: Số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất không kể thuế VAT là 0,5 triệu đồng.  Số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai không kể thuế VAT là 1,5 triệu đồng.
9. Chú ý: - Với loại toán liên quan đến tỉ lệ %, giáo viên cần gợi mở để học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán để dẫn tới mối liên quan giữa các đại lượng để lập phương trình (hệ phương trình) . - Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lưu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán. DẠNG 5: DẠNG TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG Ta cần chú ý: Khi giải các bài toán liên quan đến năng suất thì liên hệ giữa ba đại lượng là: Khối lượng công việc = năng suất lao động thời gian Bài tập 1: Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn. Lời giải: Gọi x (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở (ĐK: 1 x 15, x ¥ ) x 1 là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định. 180 28 Số xe thực tế phải điều động là: (xe) x 180 Số xe cần điều động theo dự định là: (xe) x 1 Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình: 208 180 1 208x 208 180x x2 x x2 29x 208 0 x x 1 x1 13 (tm) hoặc x2 16 (loại vì x 15) 180 180 Vậy theo dự định cần điều động: 15 (xe). x 1 13 1 Bài tập 2: Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau. Lời giải: Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội x ¥ *, x 140
10. Số tàu tham gia vận chuyển là x 1 (chiếc) 280 Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định (tấn) x 286 Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế (tấn) x 1 280 286 Theo bài ra ta có phương trình: 2 x x 1 2 x 10 280 x 1 286x 2x x 1 x 4x 140 0 Vậy đội tàu lúc đầu có 10 x 14(l) chiếc tàu. Bài tập 3. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thnahf công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm. Lời giải: Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là x 0 x 20 (sp) 85 Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là (giờ) x Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là x 3 (sp) 96 Do đó 96 sản phẩm được làm trong (giờ) x 3 1 Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút giờ nên ta 3 85 96 1 có phương trình x x 3 3 Giải phương trình ta được x 15 hoặc x 51 Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm x 51. Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.
11. DẠNG 5: LÀM CHUNG LÀM RIÊNG Sai lầm thường gặp: - Không biết biểu diễn phần việc của mỗi người tham gia - Nhầm lẫn giữa công việc chung và công việc riêng - Hay lập phương trình sai ( phương trình liên quan về thời gian làm chung làm riêng) Cách khắc phục * Kiến thức cần nhớ 1. Mối quan hệ: K, N, T ( khối lượng, năng suất, thời gian) 2. Sự tương quan tỷ lệ giữa K, N, T 3. Kỹ năng chọn ẩn, đưa dữ kiện quy về đơn vị chung (phần việc) 4. Phân tích các giai đoạn làm việc, biểu thị mối liên hệ qua ẩn và đơn vị đã chọn. *Ví dụ: Bài toán 1: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội I được điều động làm việc khác, đội II tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất lao động tăng gấp đôi, nên đội II làm xong phần công việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc. (Với năng suất bình thường) (SGK toán 9 tập 2) Hướng dẫn học sinh: - Chọn ẩn là thời gian (đơn vị số ngày) của từng đội làm một mình xong công việc. - Chọn toàn bộ khối lượng công việc quy về đơn vị một công việc. - Lập và giải hệ phương trình. Lời giải: Gọi thời gian cần thiết để đội I và đội II làm xong công việc một mình là: x (ngày) và y (ngày) ; (Điều kiện x, y 12) 1 Mỗi ngày: Đội I làm được (phần công việc) x 1 Đội II làm được (phần công việc) y 1 1 Một ngày cả hai đội làm được: (phần công việc) x y
12. 1 1 1 Nên ta có phương trình: (1) x y 12 1 1 8 ngày cả hai đội làm được: 8( ) (phần công việc) x y Do năng suất tăng gấp đôi nên ba ngày rưỡi đội II làm được: 2 7 .3,5 (phần công việc) y y 1 1 7 Vậy ta có phương trình: 8( ) 1 (2) x y y Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y 12 x y 12 x 28 x y 12 (TMĐK) 1 1 7 8 7 y 21 8 1 1 y 21 x y y 12 y Trả lời: Thời gian đội I làm một mình xong công việc là 28 ngày Thời gian đội II làm một mình xong công việc là 21 ngày. Bài toán 2. Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở để chảy vào bể này thì sẽ đầy bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi hai chảy đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể? Lời giải 4 24 Đổi 4 giờ 48 phút = 4 giờ = giờ 5 5 Cách 1: Lập hệ phương trình 24 Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể trong x (giờ, x ) 5 24 Gọi thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể trong y (giờ, y ) 5 24 24 24 Biết hai vòi cùng chảy thì sau giờ thì đầy bể nên ta có phương trình: 1 (1) 5 5x 5y Nếu chảy riêng thì vòi một chảy đầy bể nhanh hơn vòi hai là 4 giờ nên ta có phương trình: x y 4 (2)
13. 24 24 1 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 5x 5y x y 4 x 8 Giải hệ trên ta được: (thỏa mãn điều kiện) y 12 Vậy vòi một chảy một mình trong 8 giờ thì đầy bể và vòi hai chảy một mình trong 12 giờ thì đầy bể. Cách 2: Lập phương trình 24 Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x (giờ, x ) 5 1 Khi đó trong một giờ vòi một chảy được (phần bể) x 1 Vòi hai chảy một mình đầy bể trong x 4 (giờ) nên trong một giờ chảy được: (phần bể) x 4 1 1 Tổng cộng trong một giờ hai vòi chảy được (phần bể) (3) x x 4 24 5 Sau 4 giờ 48 phút = giờ hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên trong một giờ chảy được 5 24 (phần bể) (4) 1 1 5 Từ (3) và (4) ta có phương trình x x 4 24 12 Giải phương trình ta được x (loại) hoặc x 8 (thỏa mãn) 5 Vậy thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là 8 giờ. Vòi hai chảy một mình đầy bể là 8 4 12 (giờ). Nhận xét: Ta có thể chuyển bài toán trên thành bài toán sau: “Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 4 giờ 48 phút. Nếu làm riêng để hoàn thành công việc này thì thời gian đội một ít hơn thời gian đội hai là 4 giờ. Hỏi khi làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu? DẠNG 6: DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC. Sai lầm thường gặp:
14. - Không nắm được các công thức về chu vi, diện tích của tam giác, tam giác vuông, hình chữ nhật - Không có kiến thức thực tế - Đặt điều kiện sai Cách khắc phục: *Kiến thức cần nhớ Ngoài kiến thức chung, đối với học sinh cần nhớ các kiến thức sau: Công thức tính diện tích, chu vi hình quen thuộc (tam giác, tam giác vuông, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang ) *Ví dụ: Bài toán 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m. Tính diện tích của thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài tăng thêm 15m và chiều rộng giảm đi 15m thì diện tích giảm đi 450m2. Hướng dẫn học sinh: - Công thức tính chu vi hình chữ nhật: P=2 (a+b) b - Công thức tính diện tích hình chữ nhật: S=a. b (Trong đó: a, b là các kích thước của hình chữ nhật) a Lời giải: Gọi chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x (m) Chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật là y (m) . Điều kiện: x; y > 0 Chu vi của thửa ruộng là 250m, ta có phương trình: 2 (x + y) = 250 (1) Chiều dài khi tăng 15m là x + 15 (m) , chiều rộng khi giảm 15 m còn y – 15 (m) Vì diện tích giảm 450 m2 nên ta có phương trình (x + 15) (y – 15) = xy – 450 (2) 2(x y) 250 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (x 15)(y 15) xy 450 x y 125 x y 125 2y 110 y 55 (TMĐK) 15x 15y 225 x y 15 x y 125 x 70
15. Trả lời: Diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật là: 3850m2. Bài toán 2. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Lời giải: Cách 1: Lập phương trinh Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là x ( m, x 0 ) Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng 7m nên chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là x 7 (m) Biết độ dài đường chéo là 13m nên theo định lý Pitago ta có phương trình: x2 x 7 2 132 Giải phương trình ta được x 5 hoặc x 12. Đối chiếu với điều kiện ta có chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 5m và chiều dài mảnh đất đó là 12m. Cách 2: Lập hệ phương trình Gọi chiều dài của mảnh đất đó là x và chiều rộng của mảnh đất đó là y (m, x y 0 ) y 7 x x 12 Khi đó ta có hệ phương trình 2 2 2 . Giải hệ ta được . x y 13 y 5 Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn. Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 5m và chiều dài là 12m. DẠNG 7. DẠNG TOÁN VỀ THÊM BỚT, THAY ĐỔI THỪA SỐ TÍCH, TOÁN CÓ NỘI DUNG LÍ, HÓA HỌC Sai lầm thường gặp: - Không nắm được công thức kiên quan đến lí hóa học ví dụ như công thức tính thể tích, khối lượng, các công thức liên quan đến hóa học - Nhầm lẫn giữa các đại lượng thêm bớt dẫn đến lập phương trình sai. - Không có kiến thức về vật lí, hóa học. Cách khắc phục: *Kiến thức cần nhớ 1. Kỹ năng biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng. 2. Biểu diễn các tỷ lệ dưới dạng: Phần trăm, thập phân, tỷ lệ thức 3. Các tính chất của tỷ lệ thức.
16. 4. Sự tăng giảm, thêm bớt qua các biểu thức. * Ví dụ Bài toán 1: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ 4 hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong 5 mỗi giá. (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Ninh 2009 -2010) Lời giải: Gọi số sách trong giá thứ nhất lúc đầu là x (cuốn) Số sách trong giá thứ hai lúc đầu là y (cuốn) Điều kiện: x; y N; 50 0. Gọi khối lượng kẽm trong hợp kim là y (gam). Đk: y >0. Vì khối lượng của vật là 124 gam nên ta có phương trình: x y 124 Theo bài: Cứ 89g đồng có thể tích 10cm3.
17. 10 Nên x gam đồng có thể tích là: x (cm3). 89 1 Cứ 7 gam kẽm có thể tích là 1cm3 nên y gam kẽm có thể tích là: y (cm3). 7 10 1 Thể tích của vật là 15cm3, nên ta có phương trình: x y 15 89 7 x y 124 Từ đó ta có hệ phương trình: 10x y 15 89 7 x 89 Giải hệ phương trình ta được: (thỏa mãn với điều kiện của ẩn) y 35 Vậy: Có 89 gam đồng và 35 gam kẽm trong hợp kim. 3. BÀI TẬP VẬN DỤNG 3.1. VẬN DỤNG LÀM BÀI TRẮC NGHIỆM Câu 1: [NB]. Một phân số tối giản có mẫu số gấp năm lần tử số. Phân số đó là 2 5 1 3 A. . B. . C. . D. . 10 1 5 15 Câu 2. [TH]. Tìm số tự nhiên bé nhất có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13 . Số đó là A. 32 . B. 49 . C. 23. D. 94 . Câu 3. [TH]. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 20 và hiệu của số lớn và số bé bằng 10 . Số lớn và số bé là A. 15 và 5. B. 5và 15 . C. 3 và 17 . D. 3 và 13 . Câu 4. [TH]. Tìm hai số tự nhiên có tổng bẳng 10 và tích bằng 144 . Số lớn và số bé là A. 18 và 8 . B. 8 và 18 . C. 7 và 3. D. 77 và 2 . Câu 5. [TH]. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 6 và nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Số đó là A. 24 . B. 42 . C. 15 . D. 51. Câu 6. [VD]. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34. Số đó là A. 68. B. 42 . C. 75. D. 86 .
18. Câu 7. [VD]. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 10 và nếu viết số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới bé hơn số ban đầu 36 đơn vị. Số đó là A. 37. B. 64. C. 73. D. 46 . Câu 8 [VDC]. Hai số tự nhiên có tổng bằng là 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là 2 và số dư là 124 . Số lớn là A. 294 . B. 712. C. 410 . D. 596. Câu 9. [TH] Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m, 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20 . Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường? A. 100 m và 70m B. 80 m và 90m C. 60m và 110 m D. 50m và 120m Câu 10. [TH] Cho mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 40m . Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 2m thì thành mảnh vườn hình vuông. Diện tích của mảnh vườn lúc ban đầu là A. 20m2 . B. 396m2 . C. 96m2 . D. 100m2 . Câu 11. [VD] Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm, diện tích bằng 24 cm2 . Độ dài các cạnh góc vuông là A. 3 cm và 4cm B. 3 m và 4m C. 6cm và 8 cm D. 6m và 8 m Câu 12. [VD] Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giản 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi? A. 75m2 B. 3750m2 C. 50m2 D. 5625m2 Câu 13. [VD] Vườn trường hình chữ nhật có diện tích 600m2 , tính kích thước của hình chữ nhật. Biết rằng nếu giảm bớt mỗi cạnh 4m thì diện tích còn 416m2 ? A. 20 m và 30m B. 10 m và 60m C. 56m và 12 m D. 108 m và 8 m Câu 14. [VD] Một hình chữ nhật có chu vi là 70m, nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài 5m thì diện tích như cũ. Tính chiều rộng và chiều dài? A. 20 m và 25m B. 25m và 30m C. 15 m và 20 m D. 20 m và 30m
19. 2 Câu 15. [VD] Một sân hình tam giác có diện tích 180 m . Tìm cạnh đáy của sân biết rằng tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tương ứng 1m thì diện tích không đối? A. 10 m B. 12 m C.18 m D.36 m Câu 16. [VD] Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng 2m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m2 . Tính kích thước (các cạnh) của khu vườn đó. A. 60m và 80 m B. 100 m và 40 m C. 90m và 50m D. 70m và 70m Câu 17. [VDC] Cho tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tăng 17 cm2 . Nếu giảm các cạnh góc vuông đi, một cạnh đi 3cm, một cạnh đi 1cm thì diện tích sẽ giảm đi 11 cm2 . Tính các cạnh của tam giác vuông đó? A. 2,4,2 5 B. 5, 10, 5 5 C. 6, 12, 6 5 D. 3, 6, 3 5 Câu 18 [VD] Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180km/h, khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 10km/h. Vậy vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là A. 50;40 km/h. B. 40;50 km/h. C. 45;40 km/h. D. 55;45 km/h. Câu 19. [VD] Một canô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác cũng trong 7 giờ canô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Vận tốc của canô lúc nước yên lặng là A. 3 km/h. B. 21 km/h. C. 24 km/h. D. 27 km/h. Câu 20. [VD] Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180km/h, khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 10km/h. Vậy vận tốc ấy trong 5 giờ ô tô đi được số km là A. 250 km. B. 200 km. C. 225 km. D. 275 km. Câu 21 [VD] Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 130 km và gặpnhau sau 2 h. Xe đi từ B có vận tốc lớn hơn xe đi từ A là 5 km/h. Vận tốc của xe đi từ A, vận tốc của xe đi từ B lần lượt là
20. A. 30 km/h, 35 km/h B. 35 km/h, 30 km/h C. 25 km/h, 30 km/h D. 30 km/h, 25 km/h Câu 22 [VD] Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng 20 km/h thì thời gian đi sẽ giảm 1h. Nếu vận tốc giảm 10 km/h thì thời gian tăng thêm 1h. Vận tốc, thời gian đã định của ô tô lần lượt là A. 35 km/h, 2 h B. 40 km/h, 3h C. 45 km/h, 3h D. 40 km/h, 2 h Câu 23. [VD] Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1h 40 ’ thì gặp nhau. Vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h. Vận tốc thực của ca nô xuôi dòng, ca nô ngược dòng lần lượt là A. 30 km/h, 21 km/h. B. 40 km/h, 31 km/h. C. 25 km/h, 16 km/h. D. 33 km/h, 24 km/h. Câu 24 [VD] Một ca nô xuôi dòng 1km và ngược dòng 1km hết tất cả 3,5phút. Nêu ca nô xuôi 20 km và ngược 15km thì hết 1giờ. Vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô lần lượt là A. 5 km/h, 30km/h. B. 5 km/h, 35km/h. C. 35km/h, 5 km/h. D. 30km/h, 5 km/h. Câu 25 [VD] Đoạn đường AB dài 180 km . Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km. Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km. Vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là: A. 30km/h, 40 km/h. B. 40 km/h, 30km/h. C. 50 km/h, 40 km/h. D. 40 km/h, 50 km/h. Câu 26 [VD] Trên quãng đường AB dài 156 km, một người đi xe máy từ A và một người đi xe đạp từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3giờ thì gặp nhau. Biết rằng vận tốc xe máy lớn hơn vận tốc xe đạp là 28km/h. Vận tốc của xe máy, vận tốc của xe đạp lần lượt là: A. 40 km/h, 12 km/h. B. 30km/h, 17 km/h. C. 12 km/h, 40 km/h. D. 17 km/h, 30km/h.
21. Câu 27 [VD] Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến muộn 1giờ. Vận tốc dự định và thời gian dự đinh lần lượt là: A. 4 h, 25km/h . B. 6h, 28km/h. C. 8 h, 36km/h. D. 7 h, 32 km/h. Câu 28 [VD] Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180 km, khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h. Vận tốc của ô tô, vận tốc của xe máy lần lượt là A. 40 km/h, 30km/h. B. 30 km/h, 40 km/h. C. 50 km/h, 40 km/h. D. 40 km/h, 50 km/h. Câu 29 [VD] Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 400 km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5 giờ. Nêú vận tốc của mỗi xe vẫn không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì hai xe gặp nhau sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Vận tốc của xe nhanh, vận tốc của xe chậm lần lượt là A. 44 km/h, 36km/h. B. 48km/h, 32 km/h. C. 45km/h, 35km/h. D. 46 km/h, 38km/h. Câu 30. [VD] Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 720 sản phẩm. Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 12%. Do đó, cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 819 sản phẩm. Trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được số sản phẩm là A.300 sản phẩm và 420 sản phẩm. B. 400 sản phẩm và 300sản phẩm. C. 327 sản phẩm và 393sản phẩm. D. 393 sản phẩm và 327sản phẩm. Câu 31. [VD] Năm 2018, dân số của hai tỉnh A và B là 8 triệu người. Dân số tỉnh A sang năm 2019 tăng 1,2% còn tỉnh B tăng 1,1%. Biết tổng dân số của hai tỉnh năm nay là 8 090 000 người. Số dân số của tỉnh A trong năm 2019 là A. 2 triệu người. B. 6 triệu người. C. 3 triệu người. D. 8 triệu người.
22. Câu 32. [VD] Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 công cụ. Nhờ sắp xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp II đã vượt mức 10% kế hoạch . Do đó cả xí nghiệp đã làm được 400 công cụ. Số dụng cụ mà xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là A. 200 sản phẩm. B. 160sản phẩm. C. 240 sản phẩm. D. 120sản phẩm. Câu 33. [VD] Có hai dây chuyền may áo. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai dây chuyền thứ nhất tăng công suất lên 18% và dây chuyền thứ hai tăng năng suất lên 15% thì số áo của hai dây chuyền may được 1083 áo. Trong ngày thứ nhất dây chuyền thứ nhất may được số áo là A. 450 cái áo. B. 480 cái áo. C. 520 cái áo. D. 410 cái áo. Câu 34.[VD] Anh Bình đến siêu thị để mua một cái bàn ủi và một cái quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết là 850 ngàn đồng. Tuy nhiên, thực tế khi trả tiền, nhờ siêu thị khuyến mãi để tri ân khách hàng nên giá của bàn ủi và quạt điện đã lần lượt giảm bớt 10% và 20% so với giá niêm yết. Do đó, anh Bình đã trả ít hơn 125 ngàn đồng khi mua hai sản phẩm trên. Số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của quạt điện là A. 45nghìn đồng. B. 80 nghìn đồng. C. 75nghìn đồng. D. 60nghìn đồng. Câu 35. [VD] Hai đội công nhân cùng làm 1 đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm gấp rưỡi đội B. Nếu làm một mình thì số ngày đội I làm xong đoạn đường đó là A. 40 ngày B. 60 ngày. C. 18 ngày. D. 6ngày. Câu 36. [VD] Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ 3 làm được công việc. Thời gian người thứ nhất, người thứ hai làm một mình xong công 4 việc lần lượt là A. 12 giờ, 18 giờ. B. 6 giờ, 18giờ.