Đề thi khảo sát vào Lớp 10 môn Toán (chuyên Toán) - Trường THPT Chuyên Lam Sơn - Năm học 2024-2025 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi khảo sát vào Lớp 10 môn Toán (chuyên Toán) - Trường THPT Chuyên Lam Sơn - Năm học 2024-2025 (Có đáp án)

1. SỞGD&ĐT THANH HÓA KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN THPT CHUYÊN LAM SƠN Nămhọc: 2024 – 2025 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (Đề thi có 01 trang) (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Ngày thi: 07/4/2024 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phátđ ề) 2 2 2 xy 1  Câu 1. a) Cho x, y là các sốhữutỉdương thỏa mãn x y    2, chứng minh x y  1 xy là sốhữu tỉ. 8 b) Cho biểu thức P(x)  x12 x  12  3 x.Gọi x0 là một nghiệm của 2 phương trình x  x 1  0 . Tính giá trị P(x0 ) Câu 2. a) Giải phương trình: 3x- 2 5 x -1 x2  x  3. x3 (3 2 y )  8 b) Giải hệ phương trình  2 xy( y 3 y  3)  4. Câu 3. a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 5(x2xy y 2 ) 7(x  2y). b) Cho n là số nguyên dương và d là ướcdương của 2n2, chứng minh n2  d không phải là số chính phương. Câu 4. Tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn ( ),Ođường cao AH( H BC). Gọi K,L lần lượt là hình chiếu vuông góc củađiểm H trên các cạnh AB,. AC Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) tại haiđiểm P,Q ( P và B cùng phíađối với AC ). a) Chứng minh tứ giác BKLC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHQ. c) AH cắt lại đường tròn (O) tại (  ).TTGọi D Alà hình chiếu vuông góc của H lên KL; AD cắt đường tròn (O) tại M (MA ). Chứng minh HMT 900 . Câu 5. Chứng minh rằng từ 6 số vô tỉ tùy ý ta có thể chọn được 3 số a,,b c sao cho cả 3 số a  b,, b c c  a đềulàsố vô tỉ. Bài toán cònđúng không nếu ban đầu là 4 số? Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thịsố 1 : .Chữ kí của giám thịsố 2: 1
2. SỞGD&ĐT THANH HÓA KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN THPT CHUYÊN LAM SƠN Nămhọc: 2024 - 2025 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán (chuyên Toán) (Đề thi có 01trang) Ngày thi: Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN(Chuyên Toán) 2 2 2 2 xy 1  2 xy 1  Câu 1. a) Ta có: x y    2  x y 2  xy 1     0 (0,25đ) x y  x y  2 xy 1  xy  1 xy 1  x y   0  x  y   0 x  y  (0,25đ) x  y  x y x  y  xy 1  x y2  1 xy x  y (0,5đ) 2 2 4 2 b) Ta có x0  x01  0  x 0  1  x0  x 0 x 0 2 x0  1 (1  x 0 ) 2 x0  1  2  3x 0 . 8 2 09 012 0 4xx x (0,5  đ) P(x) 9 x2  24 x  16  3 x  4  3x  3 x , (0,25đ) Dođó 0 0 0 0 0 0 2 mà 4  3x0 3(1  x 0 ) 1  3 x0  1  0. Vậy P( x0)  4 3 x 0  3 x0  4. (0,5đ) Câu 2. a)ĐK:  2 / 3x. Ta có: 3x-2 5x-1 x2  x  3  x  3x-2  x  1  5x-1  ( x2  3 x  2) 0 x2 3x+2 ( x  1)2  (5x-1)   (x 2 3x  2)  0 (0,5d ) 3x-2x 5x-1  ( x  1) 2  1 1   (x3 x  2)  1  0  3x-2x 5x-1  ( x  1)  1 1 Ta có:  1  0, x  2 / 3 3x1( x  1) 5x4   ( x  2) Suy ra: x2 3x 2  0  x  1, x  2 ( tm) KL: x 1,x  2. (0,5đ) 2
3. 8  8 3 2y 1  2 y 1   x3  x3 b) Từhệ suy ra x  0. Hê    43 4 y3 3 y 2 3 y   y  1    1 x  x  2 3 u  u2 v 1 1 Đặt ta được hệphương trình: (0,5đ)  x  3 v2 u 1 2  v  y 1   u3 v 3 2( v  u)  u  v u2  uv  v 2 2  0 Vì u 2 uv v 2  2 > 0, nênu  v u v  1 3  Từ (1) suy ra : u  2u 1  0   1 5 u v   2 Với u  v 1  x y   2 x  5 1 1 5  Với u v    5 1 2 y   2 x  5  1 1 5  Với u v     5 1 (0,5đ) 2  y   2 Câu 3. a)Từ giả thiết suy ra: 7 x  2y 5 x  2y  5 x  2y 5m  x  5 m  2y m *  Thay vào phương trình ta có: 5m 2 y2  5 m  2 y y  y2 7 m  0 3y2 15my  25m2  7 m  0 (0,25 d) Phương trình (ẩny)có nghiệm nên 84  225m2  12 25 m 2  7 m   0 75 m2  84m 0  0  m  (0,25đ) 75 Do m là số nguyên nên m  0(loại), hoặc m 1 x5  2 y x5  2 y x, y 1,2 Với m 1, ta được 2       (0,5đ) 3y 15 y  18  0y2  y  3   0 Nhận xét.Cũng có thể giải câu 3a) theo cách sau: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 5(x2xy y 2 ) 7(x  2y). Vì x,*y  , ta có: 5(x2xy y 2 ) 7(x 2y) 5(4x2  4 xy  4y 2 ) 28(x  2y) 2 2 28 15x2  5 x  2y  28 x  2y 5x  2 y   28  x  2 y   x  2 y  5 3
4.  3 x 2y  5 Từ phương trình suy ra: 7 x  2y 5 x  2y 5 (vì 5;7    1) x 2 y  5 x, y 1,2 Dẫnđến x  2y  5  2 2      x xy  y  7 Vật phương trình có nghiệm nguyên dương:  ,   1,2xy n2 d  m 2 b) Giải sử n2  d là số chính phương, ta có m,* k   2   2n d . k 2 2 n d  m 2  2 2n 2 2 2 2 2 2  2n2 n  m  n k 2 n k  m k (0,5đ)   d k  k 2 2 2 2  mk  mk  mk mk  k 2 k    vì k        *    là số chính  n  n  n n  phương  k 2  2k là số chính phương. Nhưng ta có 2 2 2  1kk2 nên vô lý, k k dẫn đến giảsử sai. Vậy n2  d không chính phương. (0,5đ) Câu 4. a) (Có nhiều cáchđể chứng minh tứ giá BKLC nội tiếp) Ta có tam giác AHB vuông tại H và có đường cao là HK, nên AH2 AK. AB(1) (hệ thức trong tam giác vuông). Tương tự ta có 2 . (2).AH AL AC AK AL Từ(1) và (2) ta được AK AB AL AC   (3) (0,5đ) AC AB Xét tam giác AKL và ACB có KAL chung và thỏa mãn (3), suy ra AKL  ACB( c g c)   AKL  ACB, suy ra tứ giác BKLC nội tiếp. (0,5đ) 4
5. 1 1 b) Từ ACB AKL  sd APB  sd AQ  sd PB 2 2   1 1 sdAP  sdPB  sdAQ  sdPB  sdAP  sdAQ  A là trungđiểm cung PQ, 2  2  suy ra AP AQ (4) (0,25đ) Xét tam giác APK và tam giác ABP có PAB chung và APK  ABP (hai góc nội tiếp AP AK chắn hai cung bằng nhau), suy ra APK  ABP() g  g   AB AP AP2 AK. AB(5)Từ (1), (5) và (4) suy ra AP AH AQ, (0,25đ) suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQH, mà AH BC, nên BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHQ. (0,5đ) c) Xét hai tam giác APD và AMP có PAM chung và 1 1 APD APQ sd AQ sd AP   AMP, dóđó 2 2 AP AD APD  AMP (g g)   AP2  AD., AM (0,25đ) AM AP AH AM dođó AH2 AP 2  AD. AM   AD AH AH AM Xét hai tam giác AHM và ADH có HAM chung và  , dođó AD AH AHM  ADH( c g c) AMH AHD AHlà tiếp tuyến của  đường tròn ngoại tiếp tam giác DHM, (0,5đ) 1 1 Suy ra THM  HDM 900  MDP  90 0  sd PM sd AQ 900 sd PM  sd AP 2   2   1 900 sd APM  900   ATM90 0  HTM  THM  HTM 900  HMT  900 .(0,25đ) 2 Câu 5. XétmộtsốAbấtkỳ trong 6 số đó,xét5tổng của A với5số còn lại. Ta thấy trong 5 tổng này ít nhất có 3 tổng cùng là là số vô tỉ hoặc cùng là hữu tỉ. *) Nếu có ít nhất 3 tổng là vô tỷ chẳng hạn A  BABAB1;; 2  3 là vô tỉ, xét 3 số B1 BBBBB 2;; 1 3 3  2 nếu có 1 số vô tỷ chẳng hạn B1 B 2 thì bộ3số  A,,BB1 2  thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nếu không có số nào vô tỉ thì cả3số đó hữu tỉ,điều này dẫn đến B1BBBBBB 2  1  3   3  2  2 1 hữu tỉ , vô lý. (0,5đ) Trường hợp nếu có ít nhất 3 tổng là hữu tỉ chẳng hạn A  BABAB1;; 2  3 hữu tỉ Thì ta cũng lập luận như trên đối vớibộ B1,,BB 2 3 . Vậy bài toánđã được chứng minh. (0,25đ) 5
6. Bài toán không cònđúng nếu ban đều là 4 số, chẳng hạn bộ4số sau: a,1 a ,1 a ,  a với a vô tỉ không thể chọn được ra 3 số có tổngđôi một vô tỉ. nhau (0,25đ) Hết 6