Chuyên đề Toán 9 - Diện tích đa giác và phương pháp diện tích

Nội dung tài liệu: Chuyên đề Toán 9 - Diện tích đa giác và phương pháp diện tích

1. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích Phòng giáo dục và đào tạo Gia Bình Trường :THCS Quỳnh Phú Chuyên đề : Toán 9 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH Tháng 03 năm 2021 - 1 -
2. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích Phần I : Lời nói đầu Trong toán học không thể không kể đến bộ môn hình học. Hình học rèn luyện cho con người khả năng tư duy trừu tượng, sự sáng tạo và khả năng phân tích tổng hợp. Trong đó, một dạng toán tương đối khó, đòi hỏi nhiều tới khả năng tư duy cao, vận dụng linh hoạt những kiến thức rất cơ bản đã được học đồng thời phải quan sát kỹ lưỡng đặc điểm từng bài toán, đó là " Diện tích đa giác và phưong pháp diện tích " . Chuyên đề gồm có A. Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác và phương pháp diện tích: I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác: II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt: III/ Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích: B. Một số bài tập và hướng dẫn giải: I/ Các bài toán tính diện tích đa giác II/ Các bài toán chứng minh bằng phương pháp diện tích C. Một số bài tập vận dụng Phần II. Nội dung. A.Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác và phương pháp diện tích: Để giải các bài toán tính diện tích học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức sau: I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác: 1. Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó. 2. Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. 3. Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một đơn vị vuông . 4. Hai tam giác có cùng chiều cao (hoặc hai chiều cao bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao. 5. Hai tam giác có chung cạnh (hoặc hai cạnh bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh (hoặc hai cạnh) đó. 2 6. Tam giác đều cạnh a có diện tích bằng a 3 4 II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt: 1. Công thức tính diện tích hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó a S = a.b b - 2 -
3. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích 2. Công thức tính diện tích hình vuông: Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó. S = a2 a 3. Công thức tính diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác: Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó 1 S a.h 2 h a b) Diện tích tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông 1 1 a b S a.b c.h h 2 2 c 4. Công thức tính diện tích hình thang: Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao a 1 S a b .h h 2 b 5. Công thức tính diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó S a.h h a 6. Công thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau bằng nửa tích của hai đường chéo đó. - 3 -
4. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích 1 d2 S d1.d2 2 d1 7. Công thức tính diện tích của hình thoi Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo. 1 d2 S d .d a.h d h 2 1 2 1 a III/ Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích: 1/ Để tính diện tích của một đa giác: +/ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác. +/ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sử dụng công thức vẫn không thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở trên. +/ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích hoặc chia đa giác đó thành những đa giác đặc biệt có công thức tính diện tích(nhưng không có điểm trongchung) 2/ Chứng minh hình bằng phương pháp diện tích: +/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau :- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình. - Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài. - Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh. B. Một số bài tập và hướng dẫn giải I/ Các bài toán tính diện tích đa giác Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm. Gọi O là trung điểm của đường cao AH. Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và E. Tính SADOE ? - 4 -
5. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích A E D O N B H C Phân tích đề bài và tìm hướng giải: Để tính diện tích đối với bài tập này học sinh phải. nhận thấy S ABC đã biết nên ta cần tìm mối quan hệ về SADOE với SABC. Lại có H và O là những điểm đặc biệt trên các đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm được mối quan hệ đó bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của DC. Hướng dẫn giải bài: Gọi N là trung điểm của CD.=> AD = DN = NC = 1 AC. 3 S AD 1 AOD (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC) S AC 3 1 AOC S S 1 AOD 6 AHC S AO 1 AOC (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH) SAHC AH 2 1 Mà SAHC = SABC ( Chung chiều cao AH) (2) 2 1 1 Từ (1) và (2) => SAOD = SABC Mà SAOE = SAOD => SADOE = 2 SAOD = SABC. 12 6 Áp dụng định lí Pitago vào AHC vuông tại H => AH = 4cm AH.BC 4.6 2 1 2 => SABC = 12cm Vậy SADOE = .12 = 2 cm . 2 2 6 Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt BD ở Q. Tính diện tích MQDC ? C D M E N Q B A Phân tích đề bài và tìm hướng giải: 1 Học sinh cần nhận thấy SABCD = 1 nên dễ dàng suy ra SBCD = SABCD 2 - 5 -
6. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích Để tính SMQDC thì phải thông qua SBCD và SBMQ . Do đó ta cần phải tìm mối quan hệ của SBMQ với SBCD . Để tìm được mối liên hệ đó ta phải xét xem Q nằm trên BD có ở vị trí đặc biệt không, bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm của AD. Hướng dẫn giải bài: Lấy N là trung điểm của AD. Dễ dàng chứng minh được AMCN là hình bình hành => AM // CN => QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình)=> BQ = QE = ED 1 1 1 => SBMQ = SBCQ ; SQBC = SBCD.=> SBMQ = SBCD 2 3 6 5 5 1 5 1 1 => SMQDC = SBCD = . = (do SBCD = SABCD = ) 6 6 2 12 2 2 1 Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM = BC. Trên 5 1 cạnh CD lấy N sao cho CN = CD. 3 a) Tính SAMN theo SABCD. b) BD cắt AM ở P, BD cắt AN ở Q. Tính SMNQP theo SABCD. A P B M Q K H D N C Phân tích đề bài và tìm hướng giải: Để giải câu (a) học sinh dễ dàng nhận ra phải sử dung tính chất 1: Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng). Nên để tính diện tích của AMN ta phải làm SAMN = SABCD - SABM - SCMN - SADN Câu (b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN vì các đỉnh của tứ giác nằm trên cạnh của AMN. Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua APQ. Ta nhận thấy APQ và AMN có hai đáy cùng thuộc một đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vuông góc PK và MH. Từ đó suy ra lời giải của bài toán. Hướng dẫn giải bài: a) SAMN = SABCD - SABM - SCMN - SADN - 6 -
7. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích 1 2 1 SABM = SABCD ; SCMN = SABCD; SADN = SABCD. 10 15 3 13 13 Do đó ta tính được : SAMN = SABCD Vậy SMNPQ = SABCD 60 60 1 PK.AQ S PK AQ b) Kẻ MH  AN ; PK  AN => APQ 2 . S 1 MH AN AMN MH.AN 2 PK AP Vì PK// MH ( cùng vuông góc với AN) => .(Theo định lí Ta let). MH AM AP AD 5 AP 5 Dễ dàng chứng minh được => = PM BM 1 AM 6 AQ AB 3 AQ 3 Vì DN // AB => => . QN DN 2 AN 5 SAPQ AP AQ 5 3 1 1 13 Do đó . . => SAPQ = SMNPQ = SAMN = SABCD SAMN AM AN 6 5 2 2 60 Bài 4: Cho ABC có AB = 3; AC = 4, BC = 5. Vẽ các đường phân giác AD, BE, CF. Tính diện tích tam giác DEF. A F E B H D K C Phân tích đề bài và tìm hướng giải: - Để tính được diện tích của DEF thì ta phải đi tính SABC, SAEF, SBFD, SDEC Học sinh dễ dàng tính được SABC, SAEF vì đó là hai tam giác vuông. - Để tính được SBFD, SDFC thì cần phải kẻ thêm đường cao. Căn cứ thêm vào giả thiết : có phân giác của các góc nên từ đó suy ra kẻ đường cao FH và EK => FH = FA; EK = EA. Hướng dẫn giải bài: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Nên dễ dàng chứng minh được ABC vuông tại A. FA CA 4 FA 4 Ta có CF là phân giác ACB => => FB CB 5 AB 9 4 4 .3 => FA = AE.AF 1 3 4 9 3 => S = = . . 1 AEF 2 2 2 3 - 7 -
8. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích Chứng minh tương tự => AE = 3 . 2 Hạ FH  BC ; EK  BC.=> FH = FA ; EK = AE ( Tính chất tia phân giác của một góc) Chứng minh tương tự như trên ta tính được DB = 15 ( Dựa vào định lí đường phân 7 giác trong tam giác) => DC = 20 7 FH.BD 1 4 15 10 EK.DC 1 3 20 15 *) SBFD = . . *) SDEC = . . 2 2 3 7 7 2 2 2 7 7 AB.AC 3.4 *) SABC = 6 => SDEF = SABC - ( SAEF + SBFD + SDEC) 2 2 10 Vậy SDEF = . 7 II/ Các bài toán chứng minh bằng phương pháp diện tích 1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ các đoạn thẳng: a/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích: +/ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác đã nêu ở trên. Do đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của những hình ấy. Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp các kiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh. +/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau: - Xác định quan hệ diện tích giữa các hình. - Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài. - Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh. Bài 1: Cho hình thang ABCD, BC // AD. Các đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: SOAB = SOCD . Phân tích đề bài và tìm hướng giải: - Ta nhận thấy OAB và OCD không chung đường cao và cũng không chung cạnh. - 8 -
9. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích - BAD và CAD là hai tam giác có chiều cao bằng nhau và chung đáy AD => SBAD = SCAD => đpcm Hướng dẫn giải bài: - Vì BC // AD ( gt) => Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD bằng nhau. => SBAD = SCAD => SOAB +SOAD = SOCD + SOAD Vậy SOAB = SOCD. Bài 2: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD cắt các cạnh AB, CD ở M và K. Chứng minh rằng: SDMC = SAKB Phân tích đề bài và tìm hướng giải: Để chứng minh: SDMC = SAKB ta phải tìm các tam giác có diện tích bằng nhau ở trong bài này và diện tích tam giác đó có mối liên hệ thế nào với diện tích tam giác ta cần chứng minh. Hướng dẫn giải bài: Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC , BD. => BP = PD ; AQ = QC. Do đó SMAQ = SMCQ; SKAQ = SKCQ => SAMK = S CMK. (1) Chứng minh tương tự => SBMK = SDMK (2) Từ (1) và (2) => SBMK - SAMK = SDMK - S CMK Vậy SDMC = SAKB (đpcm) Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Điểm E trên tia đối của tia BA, điểm F trên tia đối của tia DA. Nối BF và DE cắt nhau ở K. Chứng minh: SABKD = SCKE +SCKF Phân tích đề bài và tìm hướng giải: Để chứng minh: SABKD = SCKE +SCKF - 9 -
10. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích - Ta không thể chứng tỏ ngay mối liên hệ SCKE ,SCKF vớiSABKD. - Cần phải tìm mối liên hệ SABKD với SABCD; SCKE +SCKF với SABCD. Hướng dẫn giải bài: Ta có SABKD = SABCD - ( SCDK + SCBK) (1) Hạ EM  CD ; FN  BC. 1 1 => SECD = SABCD ; SFCB = SABCD. Do đó SECD + SFCB = SABCD 2 2 => SCDK + SCKE + SCBK + SCKF = SABCD => SCKE+ SCKF = SABCD - (SCDK+ SCBK) (2) Từ (1) và (2) => SABKD = SCKE +SCKF b) Sử dụng công thức tính diện tích để thiết lập quan hệ các đoạn thẳng: Bài 1: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: AB.AC = BC. AH A C B H AB.CD BC.AH Hướng dẫn giải bài: SABC = ; SABC = 2 2 AB.AC BC.AH => AB. AC = BC. AH 2 2 Bài 2: a) Chứng minh rằng: Tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm trong ABC đều đến các cạnh của tam giác không phụ thuộc vị trí của điểm M. b) Quan hệ trên thay đổi như thế nào nếu M thuộc miền ngoài ABC. A K I M C B H O Phân tích đề bài và tìm hướng giải: a) Dễ thấy SABC = SMAB + SMBC + SMAC. Nên MH + MI + MK = h => đpcm Hướng dẫn giải bài: Gọi cạnh ABC đều là a, chiều cao của tam giác là h. a.h *) SABC = SMAB + SMBC + SMAC. *) SABC = (1) 2 - 10 -
11. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích MI.a MH.a MK.a (MI MH MK)a *) SMAB + SMBC + SMAC = (2) 2 2 2 2 Từ (1) và (2) => MH + MI + MK = h Mà h: không đổi Vậy MH + MI + MK không đổi khi M ở vị trí bất kỳ nằm trong ABC. b) Quan hệ trên thay đổi như thế nào nếu M thuộc miền ngoài ABC. Tự chứng minh được: MH + MI - MK = h (Trường hợp điểm M nằm trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B). Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự Bài 3: Cho ABC vuông tại C, trong tam giác ấy lấy điểm O sao cho SOAB = SOBC 2 2 2 = SOCA . Chứng minh rằng: OA + OB = 5. OC C M N O B A I Hướng dẫn giải bài: Dễ dàng chứng minh bài toán: Nếu gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì SGAB =SGAC = SGBC. Do đó theo bài ra ta chứng minh được: O là trọng tâm của ABC. Từ O kẻ OM  AC, ON  BC; cho CO  AB= {I} 1 1 Theo giả thiết SOAC = SABC Nên dễ dàng chứng minh: OM = BC; 3 3 Chứng minh tương tự: ON = 1 AC. Đặt BC = a, AC = b, ta có: OM = 1 a, ON = 1 b 3 3 3 Dễ dàng chứng minh được tứ giác CMON là hình chữ nhật Do đó OA2 = AM2 + OM2 ; OB2 = NB2 + ON2 (Theo định lí Pitago) 2 2 2 2 2 1 4 1 2 1 4 1 OA2 = b a b2 a2 , OB2 = a b a2 b2 3 3 9 9 3 3 9 9 2 2 2 2 b a => OA + OB = 5 (1) 9 9 2 2 AB AB Vì O là trọng tâm ABC => OC = CI = . . 3 3 2 3 2 2 2 2 AB a b 2 2 2 2 2 => OC = = (2) (do AB = BC + AC =a + b ) 9 9 Từ (1) và (2) => OA2 + OB2 = 5.OC2 - 11 -
12. Chuyên đề: Diện tích đa giác và phương pháp diện tích C. Một số bài tập vận dụng Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn, đường phân giác của góc BAD cắt CD tại M và cắt đường thẳng BC tại N. Gọi O là diểm cách đều ba điểm C, M, N và K là giao điểm của OB và CD. Chứng minh: a) SOBN = SODC b) SBCK + SNOC = SDOK Bài 2: Các điểm E, F nằm trên các cạnh AB, BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF , CE. Chứng minh rằng: ID là tia phân giác của AIC. Bài 3: Cho ABC. Gọi D là trung điểm của BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt 1 lấy hai điểm E và F. Chứng minh rằng: SDEF SABC 2 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F, G, H thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho EG không song song với AD. Cho biết diện tích EFGH bằng nửa diện tích hình bình hành. Chứng minh: HF // CD. Bài 5: Cho ABC và hình bình hành BCDE nằm cùng phía đối với BC sao cho các điểm D, E nằm bên ngoài tam giác. Vẽ các hình bình hànhABGH, ACIK sao cho đường thẳng GH đi qua E, đường thẳng IK đi qua D. Chứng minh rằng: SBCDE = SABGH + SACIK - 12 -