Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Vi-et

Nội dung tài liệu: Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Vi-et

1. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN, HỆ THỨC VIÉT I. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c 0(a 0) 2. Các bước giải phương trình bậc hai - Xác định các hệ số a, b, c ( hoặc b’) - Tính b2 4ac hoặc ' b'2 ac rồi so sánh với 0 - Tính hoặc ' nếu 0 hoặc ' 0 - Tìm nghiệm và kết luận 3. Định lý Viét 2 a. Định lý Viet: Nếu phương trình ax bx c 0(a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b S x x 1 2 a c P x .x 1 2 a b. Ứng dụng của định lý Viet c - Nếu phương trình ax2 bx c 0(a 0) có a b c 0 x 1; x 1 2 a c - Nếu phương trình ax2 bx c 0(a 0) có a b c 0 x 1; x 1 2 a 2 2 - Nếu x1 x2 S; x1.x2 P x1, x2 là nghiệm của phương trình X SX P 0(S 4P 0) c. Chú ý: Nếu ac 0 phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP A. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1) Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2 bx c 0(a 0) 1 2) Cách giải phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai (1). Ta xét các trường hợp đặc biệt sau x 0 2 - c 0, khi đó phương trình (1) trở thành: ax bx 0 x ax b 0 b x a 1
2. c - b 0, khi đó phương trình (1) trở thành: ax2 c 0 x2 . Do đó a c + Nếu 0 phương trình đã cho vô nghiệm a c c + Nếu 0 phương trình đã cho có hai nghiệm x a a - Trong trường hợp tổng quát ta có cách giải như bảng sau: b2 4ac Nghiệm của phương trình 0 Phương trình vô nghiệm b 0 Phương trình có nghiệm kép x 2a 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt b b x ; x 1 2a 1 2a *) Chú ý: Nếu b 2b' thì 4 ' và khi đó, công thức nghiệm của phương trình (1) có thể được thu gọn lại như sau: ' b'2 4ac Nghiệm của phương trình ' 0 Phương trình vô nghiệm b' ' 0 Phương trình có nghiệm kép x a ' 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt b' ' b' ' x ; x 1 a 1 a Bài 1: Giải các phương trình sau a) 4x2 25 0 b) x2 5x 6 0 1 c) 6x2 7x 5 0 d) x2 x 1 0 4 Lời giải 25 5 a) 4x2 25 0 4x2 25 x2 x 4 2 2
3. 5 Vậy phương trình có nghiệm x 2 b) x2 5x 6 0 Ta có b 2 4ac 5 2 4.6 1 0 1 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt b 5 1 b 5 1 x 3; x 2. 1 2a 2.1 2 2a 2.1 c) 6x2 7x 5 0 Ta có b2 4ac 3 2 4.2. 2 25 0 5. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt b 3 5 b 3 5 1 x 2; x . 1 2a 2.2 2 2a 2.2 2 1 d) x2 x 1 0 4 1 b Ta có b2 4ac 12 4. .1 0 phương trình có nghiệm kép x 2. 4 2a Vậy phương trình có nghiệm x 2. Bài 2: Giải các phương trình sau a) 2x2 x 1 0 b) 2x2 4x 1 0 c) 2x2 2 2x 2 1 0 Lời giải a) 2x2 x 1 0 Ta có b2 4ac 1 2 4.2.1 7 0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. b) 2x2 4x 1 0 Ta có ' b'2 ac 22 2.1 2 0 ' 2 b' ' 2 2 b' ' 2 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x ; x 1 a 2 2 a 2 c) 2x2 2 2x 2 1 0 3
4. 2 Ta có ' 2 2 2 1 2 0 ' 4 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt b' ' 2 4 2 b' ' 2 4 2 x ; x 1 a 2 2 a 2 Bài 3: Cho m là tham số, giải các phương trình sau a) x2 2m 1 x m2 m 0 b) x2 2m 3 x m2 3m 2 0 Lời giải a) Ta có 2m 1 2 4 m2 m 1 0 1 2m 1 1 2m 1 1 Phương trình có hai nghiệm x m 1; x m 1 2 2 2 b) Ta có 2m 3 2 4 m2 3m 2 1 0 1 2m 3 1 2m 1 1 Phương trình có hai nghiệm x m 1; x m 2 1 2 2 2 Bài 4: Cho phương trình 2x2 m 1 x 3m 1 0. Tìm m biết phương trình có một nghiệm x 2, giải phương trình với m tìm được Lời giải 2 9 Phương trình có nghiệm x 2 nên ta có: 2. 2 m 1 2 3m 1 0 m . 5 x 2 4 32 Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2x2 x 0 8 5 5 x 5 B. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Xét phương trình bậc hai ax2 bx c 0(a 0) 1 Từ cách giải phương trình bậc hai ta có: - Phương trình (1) có nghiệm 0 - Phương trình (1) vô nghiệm 0 - Phương trình (1) có hai nghiệm 0 Giải và biện luận phương trình là đi trả lời các câu hỏi sau: 4
5. - Khi nào phương trình có nghiệm? Vô ngiêm? - Nếu phương trình có nghiệm thì có bao nhiêu nghiệm? - Nghiệm của phương trình được biểu diễn như thế nào? Bài 1: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có nghiệm a) x2 2x 3m 1 0 b) x2 2mx m 2 0 c) x2 2 m 1 x m 1 0 Lời giải a) Ta có ' 1 3m 1 2 3m 2 Phương trình có nghiệm ' 0 2 3m 0 m 3 2 Vậy m là những giá trị cần tìm. 3 b) Ta có ' m2 m 2 Phương trình có nghiệm ' m2 m 2 0 4m2 4m 8 0 2m 1 2 9 2m 1 3 2m 1 3 m 2 2m 1 3 m 1 Vậy m 2 hoặc m 1 là những giá trị cần tìm. c) Ta có ' m 1 2 m 1 m2 3m m m 3 m 0 m 0 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ' 0 m m 3 0 hoặc m 3 0 m 3 0 Hay m 3 hoặc m 0. Vậy m 3 hoặc m 0 là những giá trị cần tìm. Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm a) mx2 2m 3 x m 1 0 b) m 1 x2 2m 3 x m 1 0 Lời giải a) Ta đi xét 2 trương hợp sau 1 - Trường hợp 1: m 0, khi đó phương trình trở thành 3x 1 0 x m 0 (thỏa mãn) 3 5
6. - Trường hợp 2: m 0, ta có 2m 3 2 4m m 1 8m 9 9 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 8m 9 0 m 8 9 Vậy m là những giá trị cần tìm. 8 b) Ta đi xét hai trường hợp + m 1, phương trình trở thành 3 0 (vô nghiệm) + m 1, Ta có ' m 1 2 m 1 m 2 3 m 1 , phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 3 m 1 0 m 1 (do m 1) Vậy m 1 là những giá trị cần tìm. Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau với a, b là tham số ax2 2 a b x a 2b 0 Lời giải - Với a 0 phương trình trở thành 2bx 2b 0 bx b + Khi b 0 phương trình là 0x 0 do đó phương trình nghiệm đúng với mọi x + Khi b 0 phương trình có nghiệm là x 1 - Với a 0 phương trình là phương trình bậc hai Ta có ' a b 2 a a 2b b2 b a + Khi b 0 phương trình có nghiệm kép x a a b b a 2b x a a + Khi b 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là a b b x 1 a Kết luận: - a b 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x - a 0;b 0 phương trình có nghiệm duy nhất x 1 a b - a 0;b 0 phương trình có nghiệm kép x a a 2b - a 0;b 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x . a 6
7. Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lê Quý Đôn, Quảng Trị, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình x2 ax b 0 có nghiệm nguyên và a b 1 2014. Tìm a, b nguyên Lời giải a a Ta thấy nếu phương trình có hia nghiệm thì hai nghiệm đó là x ; x 1 2 2 2 Do đó hai nghiệm x1, x2 là nguyên thì phải là số chính phương Vì phương trình x2 ax b 0 có nghiệm nguyên nên a2 4b a2 4 2013 a a2 4a 4.2013 a 2 2 4.2014 m2 với mọi m N a 2 2 m 2 4.2014 a 2 m a 2 m 4.2014 Vì a 2 m và a 2 m cùng tính chẵn lẻ nên cả hai số đều là số chẵn, do đó ta có các trường hợp sau a 2 m 2014 + a 1007;b 1006 a 2 m 4 a 2 m 4028 + a 2013;b 0 a 2 m 2 a 2 m 4 + a 1011;b 3024 a 2 m 2014 a 2 m 2 + a 2017;b 4030 a 2 m 4028 Vậy các cặp (a; b) cần tìm là: 1007;1006 , 2013;0 , 1011;3024 , 2017;4030 *) Chú ý: Phương trình x2 bx c 0 a,b Z có nghiệm nguyên khi và chỉ khi là số chính phương. Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Nguyễn Trãi, Hải Dương, năm học 2012 - 2013 Xét phương trình x2 m2 x 2m 2 0 1 . Tìm các giá trị nguyên dương của m để (1) có nghiệm nguyên. Lời giải 7
8. Ta có m4 4 2m 2 m4 8m 8 Phương trình có nghiệm khi 0 m4 8m 8 0 2 Vì m nguyên dương nên ta thấy m 1;m 2 thì (2) không thỏa mãn Với m 3 49 nên (1) có hai nghiệm x 1; x 8 2 2 Xét m 4 nên ta có m 4 8m 8 m2 2 4 m2 2m 3 m2 2 2 2 2 Dễ thấy m4 8m 8 m2 m2 2 m4 8m 8 m2 2 Do đó m4 8m 8 là số chính phương khi và chỉ khi m4 8m 8 m2 1 2m2 8m 9 0 vô nghiệm do m nguyên dương Vậy m 3 là giá trị cần tìm. Bài 6: Tìm tất cả các giá trị m Z để phương trình sau có nghiệm nguyên: x2 2mx 2m2 3m 4 0 Lời giải Phương trình có nghiệm khi ' m2 2m2 3m 4 0 m2 3m 4 0 4 m 1 Do m Z nên ta có m 4; 3; 2; 1;0;1 Thay vào ta thấy m 4; 3;0;1 thì phương trình có nghiệm nguyên Vậy m 4; 3;0;1 là những giá trị cần tìm. Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm nguyên: x2 mx m2 2m 1 0 Lời giải *) Nhận xét: Với bài toán này ta không còn áp dụng được cách giải như ở bài 6 vì trong bài toán này, m là số thực bất kì, chỉ có x là số nguyên. Do đó, ta cần đổi vai trò của x và m để đưa về cách giải ở bài toán 6 Giả sử tồn tại m để phương trình có nghiệm nguyên x x0 2 2 2 2 Khi đó, phương trình sau có nghiệm m: x0 mx0 m 2m 1 0 m x0 2 m x0 1 0 2 2 2 2 2 7 2 2 7 Hay x0 2 4 x0 1 0 3x0 4x0 8 0 x0 3 3 8
9. Mà x0 Z x0 2; 1;0;1 m 3; 1;0; 1 2 Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán Lam Sơn, Thanh Hóa, năm học 2014 - 2015 Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x3 y3 3xy 3 Lời giải Đặt x a y a Z ta có phương trình : a y 3 y3 3 a y y 3 3a 3 y2 3a2 3a y a3 3 0 + a 1, ta có phương trình vô nghiệm 2 + a 1, ta có 3a2 3a 4 3a 3 a3 3 0 9a4 18a3 9a2 12a4 12a3 36a 36 0 a4 2a3 3a2 12a 12 0 a 1 a3 3a2 12 0 1 a 3 Mà a Z a 0;1;2;3 2 y 1 x 1 + a 0 ta có 3y 3 0 y 1 x 1 + a 1 ta có 6y 2 6y 2 0, phương trình không có nghiệm nguyên + a 2 ta có 9y 2 18y 5 0, phương trình không có nghiệm nguyên 2 y 1 x 2 + a 3 ta có y 3y 2 0 y 2 x 1 Vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên 1;1 , 1; 1 , 2;1 , 1;2 Bài 9: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau a) x2 2y2 3xy x y 3 0 b) x3 y 3 xy 8 Lời giải a) x2 2y2 3xy x y 3 0 x2 3y 1 x 2y2 y 3 0 2 2 2 Ta có x 3y 1 4 2y y 3 y 2y 11 Phương trình có nghiệm nguyên nên z là số chính phương hay y2 2y 11 z2 y 1 2 z 12 z N y z 1 y z 1 12 Ta có y z 1 y z 1; y z 1 và y z 1 cùng tính chẵn lẻ nên ta có: 9
10. y z 1 6 y 5 + x 6; x 8 y z 1 2 z 2 y z 1 2 y 3 + x 6; x 4 y z 1 6 z 2 b) Đặt x y a a Z Ta có phương trình trở thành: y a 3 y3 y a y 8 3a 1 y2 3a2 a y a3 8 0 Phương trình có nghiệm nên: 2 3a2 a 4 3a 1 a3 8 0 9a4 6a3 a2 4 3a4 a3 24a 8 0 3a4 2a3 a2 96a 32 0 * 2a4 2a3 0 a 1 4 2 + a a 0 * không thỏa mãn a 0 96a 0 3a4 81a 0 3 2 + a 3 2a 6a 0 * không thỏa mãn 2 5a 15a 0 Do a Z nên ta có a 1;2 + a 1 2y2 2t 7 0, phương trình không có nghiệm nguyên. + a 2, ta có phương trình 5y2 10y 0 y 0; y 2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x; y 2;0 , 0; 2  . C. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM, VÔ NGHIỆM Để chứng minh một phương trình bậc hai vô nghiệm ta chứng minh phương trình có 0 . Để chứn minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh phương trình bậc hai có 0 . Ngoài ra để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta còn có cách dựa vào tính chất sau: Cho f (x) ax2 bx c(1) Nếu có 1 số thực m sao cho a. f (m) 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt Chứng minh tính chất: 10
11. 2 2 2 b 2 b 2 b Ta có: f (x) a x a. f (m) a m 0 a m 0 0 2a 4a 2a 4 4 2a Bài 1: Chứng minh rằng với m các phương trình sau luôn có nghiệm: a) x2 2 m 2 x m 7 0 b) x2 4m2 x 4m 2 0 Lời giải 2 2 2 5 19 a) Ta có ' m 2 m 7 m 5m 11 m 0,m ' 0 với mọi m 2 4 Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Ta có ' 4m4 4m 2 2(2m4 2m 1) 2 2 4 4 2 1 2 1 2 1 1 mà 2m 2m 1 2 m m 2 m m 2 m 2 m 0 4 4 2 2 1 m2 0 2 Dấu “=” xảy ra (vo.nghiem). ' 0m. 1 m 0 2 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 2: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì phương trình sau vô nghiệm: a 2 x2 (a2 b2 c2 )x b 2 0 Lời giải Ta có a2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a b c ) 4a b (a b c 2ab)(a b c 2ab) (a b) c (a b) c (a b c)(a b c)(a b c)(a b c) 0     phương trình vô nghiệm 0 0 0 0 Bài 3: Cho các số thực a, b, c thoảm nã 4a2 a b 2 a c 2 1 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 bx c 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Lời giải 11
12. Phân tích: Vì bài toán yêu cầu chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt nên phương trình đã cho phải là phương trình bậc hai, tức là a 0 . Điều này dễ thấy luôn đúng , vì nếu a 0 thì từ giả thiết ta có b2 1 0 (vô lí). Do vậy để chứng minh yêu cầu bài toán, chúng ta cần chứng minh b2 4ac 0 hoặc chỉ ra số thực m sao cho a. f m 0 với f x ax2 bx c Cách 1: Để chứng minh b2 4ac 0, ta biến đổi giả thiết bài toán như sau: 16a2 4 a b 2 4ac 8a 4 0 b2 4ac 16a2 4 a b 2 4ac 8a 4 12a2 4 a b 2 b2 4 a 1 2 0 b2 4ac 0 Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt Cách 2: Để chỉ ra có một số thực m sao cho a. f m a am2 bm c 0 Ta viết lại giả thiết bài toán như sau: 4a2 a2 2ab b2 ac 2a 1 0 a 4a 2b c a 1 2 b2 0 a 4a 2b c 0 a. f 2 0 . Do đó, phương trình f x 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho các sô thực a, b, c thỏa mãn 3a 5b 15c 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 bx c 0 luôn có nghiệm. Lời giải Phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai vì ta chưa biết a 0 hay a 0. Do đó ta xét các trường hợp sau + Xét a 0 , khi đó: - b 0, từ giả thiết có c 0. Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm c - b 0 thì phươn trình đã cho có nghiệm x b + Xét a 0 , khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai. Để chứng minh phương trình có nghiệm, ta có thể chứng minh b2 4ac 0 hoặc chỉ ra số thực m thỏa mãn a. f m 0 với f x ax2 bx c. Cách 1: Để chứng minh b2 4ac 0 ta biến đổi như sau: 2 2 2 2 3a 15c 9a 10ac 225c Ta có b 4ac 4ac 5 25 12
13. 2 Vì 9a2 10ac 225c2 25c2 10ac a 2 8a2 200c2 5c a 8a2 200c2 0. 0, với mọi a, b, c. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. Cách 2: Để chỉ ra số thực m thỏa mãn a. f m 0 ta xử lí như sau 1 1 1 Ta có f 0 c; f 1 a b c; f a b c. 2 4 2 1 1 1 Giả sử x. f 0 y. f 1 z. f 3a 5b 15c y z a y z b x y z c 3a 5b 15c 2 4 2 1 y z 3 4 y 1 1 y z 5 z 8 2 x 6 x y z 15 1 Vậy ta có 6. f 0 f 1 8. f 0 2 1 Do đó trong ba số f 0 , f 1 , f luôn có một số không âm và một số không dương. Giả sử 2 hai số đó là f 0 , f 1 , tức là: f 0 . f 1 0 a. f 0 .af 1 0 1 Do đó, ta suy ra af 0 0 hoặc af 0. Từ đây, ta có phương trình đã cho luôn có nghiệm. 2 Chú ý: Khi đề bài cho a, b, c thỏa mãn ma nb pc 0 và yêu cầu chứng minh phương trình ax2 bx c có ngiệm, ta có thể chứng minh như sau Cách 1: Chứng minh b2 4ac 0 (khi a 0 ) Cách 2: Chỉ ra tồn tại x, y, z thỏa mãn: x. f y. f  z. f  ma nb pc khi đó trong ba số f , f  , f  luôn có hai số trái dấu. Từ đó ta có đpcm. Bài 5: Cho các sô a, b, c thỏa mãn a 2b 3c 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 4x2 4 2a 1 x 4a2 192abc 1 0 và 4x2 4 2b 1 x 4b2 96abc 1 0 Lời giải 13
14. Hia phương trình trên lần lượt có '1 16a 1 48bc ; '2 16b 1 24ac . Vì a, b là các số dương nên '1, '2 lần lượt cùng dấu với 1 48bc và 1 24ac . Để chứng minh bài toán, ta cần chứng minh trong hai biệt thức '1, '2 luôn có ít nhất một số không âm. Để chứng minh điều này, ta đi xét tổng '1 '2 . Nếu '1 '2 0 thì trong hai số '1, '2 có ít nhất một số không âm. Ta có 1 48bc 1 24ac 2 24c a 2b 2 24c 1 3c 2 6c 1 2 0 Hay '1 '2 0 Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Bài 6: Cho phương trình ax2 bx b3 c3 4abc 0(a 0) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có 1 phương trình vô nghiệm, 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt: ax2 bx c 0(2);ax2 cx b 0(3) Lời giải 2 2 3 3 Phương trình (1) vô nghiệm 1 b c 4a(b c 4abc) 0(*) 2 2 Ta có 2 b 4ac; 3 c 4ab Ta đi chứng minh 2. 3 0 2 0 3 0 Có (*) (b2 4ac)(c2 4ab) 0 . 0 dpcm 2 3 2 0 3 0 Bài 7: Cho a, b, c là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương tình sau luôn có nghiệm: a(x b)(x c) b(x c)(x a) c(x a)(x b) 0(1) Lời giải (1) (a b c)x2 2(ab bc ca)x 3abc 0; ' (ab bc ca)2 3abc(a b c)  0 1 a2b2 b 2c2 c2a2 abc(a b c) (ab bc)2 (bc ca)2 (ca ab)2 0 dpcm 2 Bài 8: Cho các số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba phương trình sau có nghiệm: x 2 ax 1 0; x2 bx 1 0; x2 cx 1 0 14
15. Lời giải (b c)2 a 2 4; b2 4; c2 4 a2 b2 c2 12 a2 12 1 2 3 1 2 3 2 (6 a)2 3(a 2)2 a2 12 0 0 dpcm 2 2 1 2 3 Bài 9: Cho phương trình ax2 bcx b 3 c3 4abc 0(1)(a 0) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có hai nghiệm phân biệt ax2 bx c 0(2);ax2 cx d 0(3) Lời giải 2 2 3 3 Vì phương trình (1) vô nghiệm nên ta có: 1 b c 4a(b c 4abc) 0(*) 2 2 Hai phương trình (2)(3) có 2 b 4ac; 3 c 4ab Để chứng minh bài toán ta cần chứng minh trong hai số , luôn có một số âm và một số 2 3 dương. Điều này gợi ý ta đi chứng minh 2. 3 0 2 2 (*) (b 4ac)(c 4ab) 0 2. 3 0 trong hai số 2 , 3 có một số âm và một số dương dẫn đến trong hai phương trình (2)(3) luôn có một phương trình có hai nghiệm phân biệt và một phương trình vô nghiệm. Bài 1: Cho phương trình x2 (2m 1)x 2m 4 0(x : an) ( m là tham số ) 1. Giải phương trình đã cho khi m 1. 2. Tìm giá trị của tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại 3. Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 4. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để: 2 2 a. x1 x2 13 b. 2x1 3x2 3 c. x1 x2 4 d. x1 x2 5 e. Nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia 5. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m 6. Tìm các giá trị của m để phương trình: a. Có hai nghiệm tría dấu b. Có hai nghiệm cùng âm c. Có hai nghiệm cùng dương 15
16. d. Có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương e. Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x1 1 x2 2 2 7. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Xét biểu thức A x1 x2 4x1x 2 4 . Hãy: a. Tính giá trị của biểu thức A theo m b. Tìm các giá trị của m để A = 41 c. Tìm các giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất 8. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Tìm các giá trị của m để x1, x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 205 2 9. i x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Với m 2 , lập phương trình bậc hai có hai 1 1 nghiệm là ; có tham số m x1 x2 Lời giải 3 17 1. Với m 1 x 1,2 2 2. Thay x 2 m 1 x 3 3. (2m 1)2 16 0m dpcm x1 x2 2m 1 4. Áp dụng hệ thức Viét x1.x2 2m 4 2 2 2 a. Tính được: x1 x2 4m 9 m 1 1 m x1 x2 2m 1 x1 6m 2 b. Ta có: x1x2 6m(1 4m) 2m 4  2x 3x 3 x 1 4m 1 1 2 2 m 3 1 c. Ta có: (x x )2 (x x )2 4x x m 1 2 1 2 1 2 2 2 2 d. Ta có: x1 x2 5  x1 x2 2 x1x2 25(*) 2 2 2 2 m 1 Thay x1 x2 4m 9; x1x2 2m 4 (*) : m 2 4 m  m 2 e. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x1 3x2 , kết hợp với 3(2m 1) x 1 4 x1 x2 2m 1 x1x2 2m 4  m  2m 1 x 2 4 16
17. 5. Với mọi m phương tình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Từ hệ thức Viet, khử m ta tìm được hệ thức x1 x2 x1x2 5(dpcm) 6. a. Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac 0 m 2 0 b. Phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm  x1 x2 0 m  x1x2 0 0 c. Phương trình có hai nghiệm cùng dương  x1 x2 0 m 2 x1x2 0 d. Phương trình có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm ac 0 1 dương  m x1 x2 0 2 0 e. Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x1 1 x2  m R (x1 1)(x2 1) 0 7. a. Tính được A 4m2 8m 29 b. Tìm được m 1;m 3 2 2 c. Ta có A 4m 8m 29 4(m 1) 25 Amin 25  m 1 13 0 m (loai) 4 8. Ta có x1 0; x2 0  13 205 m (thoa.man) x2 x2 4 1 2 4 1 1 x x 2m 1 1 1 1 1 9. Với m 2 1 2 ; . PT : (2m 4)x2 (2m 1)x 1 0 x1 x2 x1x2 2m 4 x1 x2 x1x2 2m 4 Bài 2: Cho phương trình x2 (2m 1)x m2 3m 0(x : an) ( m là tham số ) 1. Giải phương trình đã cho khi m 2 . 2. Tìm giá trị của tham số m để phương trình đã cho có một nghiệm x = -2. Tìm nghiệm còn lại 3. Tìm các giá trị của m để phương trình: a. Có hai nghiệm phân biệt, tìm các nghiệm đó b. Có nghiệm kép. Tìm nghiệm với m vừa tìm được 17
18. c. Vô nghiệm 4. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 , tìm các giá trị của m để: 2 2 a. x1 x2 8 b. 2x1 3x2 8 c. x1 x2 4 d. x1 x2 3 5. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 2 2 2 a. x1, x2 trái dấu b. x1, x2 cùng dương c. x1, x2 cùng âm d. (x1 x2 ) đạt GTNN 6. Trong trường hợp phương trình có các nghiệm phân biệt x1, x2 , hãy: a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m b. Tìm các giá trị của m để (2x1 3)(2x2 3) 1 1 1 c. Với m 0;m 3 lập phương trình bậc hai có các nghiệm là y1 x1 ; y2 x2 x2 x1 Lời giải 1. m 2 x 1 3 2. Tìm được m 1;0 +) m 0 x 0 +) m 1 x 2 3. ' (m 1)2 (m2 3m) m 1 a. ' 0  m 1 x x1,2 m 1 m 1 b. Ta có ' 0  m 1 x 2 c. Ta có ' 0  m 1 4. Xét với m 1 a. Tìm được m = 2 b. Tìm được m = 3 hoặc m = 8 c. Tìm được m = 3 d. Xét hai trường hợp 1 +) TH1: Với x , x 0 m 1 2 2 5 +) TH2: Với x , x 0 m 1 2 4 5. a. Tìm được 0 m 3 b. Tìm được m > 3 7 1 c. Tìm được 1 m 0 d. (x2 x2 )2  m 1 2 min 2 2 2 6. a. Tương tự bài 1, tìm được (x1 x2 ) 2(x1 x2 ) 8 0 18
19. m 1 1 m 1 b. Từ 4x1x2 6(x1 x2 ) 9 1 m 5 m 5 c. Với 2(m 1) y y 2(m 1) 1 2 2 2 m 3m 2 2(m 1)(m 3m 1) 2 1 m 1;m 0;m 3 PT : y y m 3m 2 0 1 m2 3m m2 3m y y m2 3m 2 1 2 m2 3m Bài 3: Cho phương trình x2 (m 2)x 2m 0(x : an) ( m là tham số ) 1. Tìm giá trị của m, biết phương trình có một ngiệm x = 3. Tìm nghiệm còn lại 2. Tìm giá trị của tham số m để phương trình: x1 x2 a. Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 x2 x1 7 7 b. Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 127 c. Có hai nghiệm x1, x2 đối nhau d. Có hai nghiệm x1, x2 cùng dấu. Khi đó hai nghiệm cùng âm hay cùng dương> e. Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 3 x1 x 2 3 3. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình a. Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương b. Có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền 13 4. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x1, x2 : 2 2 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1 x2 4x1x2 4 theo tham số m 1 1 b. Với m 0, lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và x1 x2 x1 x2 Lời giải Phương trình x2 (m 2)x 2m 0  (x m)(x 2) 0 phương trình luôn có các nghiệm x1 m; x2 2 1. Tìm được m 3; x 2 x x m 2 2. a. Tìm được 1 2 2  m 2(thoa.man) x2 x1 2 m 7 7 7 7 7 b. x1 x2 127  ( m) ( 2) 127  m 1  m 1 c. Ta có x1 x2  m 2  m 2(thoa.man) 19
20. d. Ta có x2 2 0 m 0  m 0. Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm e. Cách 1: Trường hợp 1: 3 x1 x2 3 m 3 Trường hợp 2: 3 x1 x2 3 3 m 3;m 2 Cách 2: Nhận xét phương trình có hai nghiệm là -2 và –m. Vì 2 m m 2 3 x1 x2 3  3 m 3 3 m 3 x1x2 0 3. a. Ta có  2 m 0 2 m b. Do phương trình luôn có một nghiệm là x = -2 nên không thể là cạnh của tam giác nên m  2 2 2 4. a. Ta có A x1 x2 4x1x2 4 (m 4) 8 8 Amin 8  m 4 b. Với m 0, ta tính được 1 1 2m 1 y1 y2 (x1 x2 ) ( ) (m 2) x1 x2 2m 2 2 2my (m 2)(2m 1)y (m 2) 0 x x (m 2)2 y y 1 2 2 1 2 x2 x1 2m Bài 1: Bắc Ninh, năm 2012 - 2013 Cho phương trình: mx2 (4m 2)x 3m 2 0(1) ( m là tham số). 1) Giải phương trình (1) khi m = 2. 2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. 3) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên. Lời giải 1. Thay m = 2 vào phương trình, ta có: 2 2 (1) 2x 6x 4 0 x 3x 2 0 Ta thấy: 1 – 3 +2 = 0 nên pt có 2 nghiệm: x1 0; x2 2 2. * Nếu m = 0 thì (1) 2x 2 0 x 1. Suy ra: Pt luôn có nghiệm với m=0 20
21. *Nếu m 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Ta có: ' (2m 1)2 m(3m 2) 4m2 4m 1 3m2 2m (m 1)2 0 m 0 Kết luận: Kết hợp 2 trường hợp ta có: pt luôn có nghiệm với mọi m (đpcm) 3. * Nếu m = 0 thì (1) 2x 2 0 x 1 nguyên Suy ra: Với m = 0 pt có nghiệm nguyên * Nếu m # 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Từ ý 2 ta có: pt có 2 nghiệm: 2m 1 m 1 x 1 1 m 2m 1 m 1 3m 2 x 2 m m Để pt (1) có nghiệm nguyên thì nghiệm x2 phải nguyên 3m 2 2 Z 3 Z (m 0) 2m hay m là ước của 2 m = {-2; -1; 1; 2} m m Kết luận: Với m = { 1; 2;0 } thì pt có nghiệm nguyên Bài 2: Bắc Ninh, 20/06/2014 Cho phương trình: x2 2mx 2m 6 0(1) ( m là tham số). 1) Giải phương trình (1) khi m = 1. 2 2 2) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 x2 nhỏ nhất Lời giải 2 2 x1 x2 2m 2. m 2m 6 (m 1) 5 0 x1.x2 (2m 6) 1 x2 x2 (x x )2 2x x 4m2 4m 12 (2m 1)2 11 11 min.A 11  m 1 2 1 2 1 2 2 Bài 3: Bắc Ninh, 17/07/2015 Cho phương trình: x2 2mx 2m 10 0(1) ( m là tham số). 1) Giải phương trình (1) khi m = -3. 2) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 2x1 x2 4 Lời giải 21
22. 2 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2  ' 0  (m 1) 9 0 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Theo định lý Viet, ta có: x1 x2 2m 4 x1 2m x1 4 2m m 3 2 x1x2 2m 10  x1x2 2m 10  x2 4 4m 4m 13m 3 0  1(thoa.man) m 2x1 x2 4 x2 4 2x1 x1x2 2m 10(*) 4 Bài 4: Bắc Ninh, 03/06/2017 Cho phương trình: x2 2mx m2 1 0(1) ( m là tham số). 1) Giải phương trình (1) khi m = 2. 2) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Gọi x1, x2 là hai 3 2 2 nghiệm của phương trình (1), lập phương trình bậc hai nhận x1 2mx1 m x1 2 và 3 2 2 x2 2mx2 m x2 2 là nghiệm Lời giải 2. ' 1 0 m Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 x2 2m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2 x1x2 m 1 Biến đổi phương trình: x2 2mx m2 1 0 x2 2mx m2 1 x3 2mx2 m2x x x3 2mx2 m2x 2 x 2 Vì x1, x2 là các nghiệm của phương trình nên: 3 2 2 3 2 2 x1 2mx1 m x1 2 x2 2mx2 m x2 2 x1 2 x2 2 x1 x2 4 2m 4 3 2 2 3 2 2 x1 2mx1 m x1 2 . x2 2mx2 m x2 2 x1 2 . x2 2 x1x2 2 x1 x2 4 m2 1 2.2m 4 m2 4m 3 Ta có: Phương trình cần lập là: x2 2m 4 x m2 4m 3 0 . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CÁC ĐỀ THI HÀ NỘI Bài 1: Hà Nội, 2015 – 2016; Bắc Giang ngày 06/06/2018 Cho phương trình: x2 (m 5)x 3m 6 0(1) ( m là tham số). 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m 22
23. 2) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5. Lời giải 1. (m 1)2 0 đpcm 2. Ta tìm được hai nghiệm của phương trình là: x1 3; x2 m 2 x1 3 0 m 2(thoa.man) Yêu cầu của bài toán  x2 m 2 0  m 2 m 6(loai) 2 2 x1 x2 25(*) Bài 2: Hà Nội, 2012 - 2013 Cho phương trình: x2 (4m 1)x 3m2 2m 0 ( m là tham số). 2 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2 7 Lời giải m 1 2 x1 x2 4m 1 2 4m 1 0 5m 2m 3 0  3 2 x1x2 3m 2m m 5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CÁC ĐỀ THI BẮC GIANG Bài 1: Bắc Giang: 06/06/2017 Cho phương trình: x2 (2m 5)x 2m 1 0(1) ( m là tham số). 1 1) Giải phương trình khi m 2 2) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức P x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải 2 x1 x2 2m 5 2. (2m 3) 12 0m x1.x2 2m 1 23